角平分线的辅助线做法含例题与分析Word文档下载推荐.docx

1、分析 ：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段 与某条线段相等， 截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等， 进而达到所证明的目的简证 ：在此题中可在长线段 BC上截取 BF=AB，再证明 CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长 BE 与 CD的延长线交于一点来

2、证明。自已试一试。例2 已知：如图 1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=D，B 求证 DCAC此题的条件中还有角的平分线， 在证明要用到构造全等三角形， 此题还是证明线段的和差问题。用到的是截取法来证明的， 在长的线段上截的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢中还倍分取短练习1 已知在ABC中，AD平分BAC，B=2C，求证： AB+BD=AC2 已知：在 ABC中， CAB=2B，AE平分 CAB交 BC于 E，AB=2AC，求证： AE=2CE3已知：在 ABC中， ABAC,AD为 BAC的平分线， M为 AD上任一点。求证： BM-CMAB-AC4 已知：D是 ABC的

3、BAC的外角的平分线 AD上的任一点，连接 DB、DC。BD+CDAB+。AC二）、角分线上点向角两边作垂线构全等明问题过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证例1 如图 2-1 ，已知 ABAD, BAC=FAC,CD=B。C ADC+B=180?可由 C向BAD的两边作垂线。近而证 ADC与 B之和为平角例2 如图 2-2 ，在 ABC中， A=90?，AB=AC，ABD=CBD。 BC=AB+AD分析：过 D作DEBC于 E，则 AD=DE=C，E则构造出三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从 用了相当于截取的方法。图2-3例3 已知如图 2

4、-3， ABC的角平分线 BM、CN相交于点 证： BAC的平分线也经过点 P。连接 AP，证 AP平分 BAC即可，也就是证 P到 AB、AC的距离相等。练习：1如图 2-4AOP=BOP=15，?PC/OA，PDOA，如果 PC=4，则 PD=（ ）A 4 B 3 C 2 D 1DB=2.5.2已知在 ABC中，C=90?，AD平分 CAB，CD=1.5, 求 AC。3已知：如图 2-5, BAC=CAD,ABA，DCEAB，1AE=2 （AB+AD）. 求证： D+ B=180?。4.已知：如图 2-6, 在正方形 ABCD中， E为 CD 的中点， F为 BC上的点， FAE=DAE。

5、 AF=AD+C。F5 已知：如图 2-7，在 RtABC中， ACB=90?,CDAB，垂足为 D，AE平分 CA B交CD于F，过 F作FH/AB交BC于H。求证 CF=BH。（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。 （如果题目中有垂直于角平分线的线段， 则延长该线段与角的另一边相交）。N 图 3-3=2CE。给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一 边相交，近而构造出等腰三角形。例

6、3已知：如图 3-3 在ABC中，AD、AE分别 B AC的内、外角平分线，过顶点 B作BN垂直 AD,交 AD的 延长线于 F，连结 FC并延长交 AE于 M。 AM=M。E由 AD、AE是 BAC内外角平分线，可得 EAAF，从而有 BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。例4 已知：如图 3-4 ，在 ABC中，AD平分 BAC，AD=AB，CMAD交 AD延长线于 M。 AM= （AB+AC）2题设中给出了角平分线 AD，自然想到以 AD为轴作对称变换，作 ABD关于 AD1 已知：在 ABC中， AB=5， AC=3， D是 BC中点， AE是 BAC的平分线，且 CE AE于 E，

7、连接 DE，求 DE。2 已知 BE、BF分别是 ABC的 ABC的内角与外角的平分线， AFBF于 F，AEBE于 E，连接 EF分别交 AB、AC于 M、N，求证 MN=1 BC四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。 或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三 角形。如图 4-1 和图 4-2 所示。1. 已知，如图， C=2A，AC=2BC。 ABC是直角三角形4已知：如图在 ABC中， A=90，AB=AC，BD是ABC的平分线，求证： BC=AB+ABD平分 ABC交AC于

8、点 D，CB例 6如图 7， ABC是等腰直角三角形， BAC=B90 ，E 垂直于 BD，交 BD的延长线于点 E。 BD=2C。E 证明：延长 BA，CE交于点 F，在 BEF和 BEC中， 1=2，BE=BE，BEF=BEC=90 ， BEF BEC， EF=EC，从而 CF=2CE。又1+F=3+F=90，故 1=3。在 ABD和 ACF中， 1=3，AB=AC， BAD=CAF=90，ABDACF， BD=C，F BD=2C。E 注：此例中 BE是等腰 BCF的底边 CF的中线六）、借助角平分线造全等1：如图，已知在 ABC中， B=60， ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O，求证： O理由；（2）如果 AB=a ，AC=b ，求 AE、BE的长.中考应用（06 北京中考） 如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称轴的全等三角形。 请你参考这个作全等三角形的方法， 解答下列问题：（1）如图，在 ABC中， ACB是直角， B=60，AD、CE分别是 BAC、 BCA的 平分线， AD、CE相交于点 F。请你判断并写出 FE与 FD之间的数量关系；2）如图，在 ABC中，如果 ACB不是直角，而 （1） 中的其它条件不变，请问，你在 （1） 中所得结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理