数值计算方法答案Word文档格式.docx

1、（1）；（2）；（3）。由教材关于型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？（1）31.97+2.456+0.1352=0.3457（2）31.97+（2.456+0.1352）=0.3456易见31.97+2.456+0.1352=0.345612，故（2）的计算结果较精确。4计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？设该正方形的边长为，面积为，由解得=0.5%5下面计算的公式哪个算得准确些？为什么

2、？（1）已知，（A），（B）；（2）已知，（A），（B）；（3）已知，（A），（B）；（4）（A），（B）当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。（2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。（3）（A）中使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。（4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。6用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制

3、三位浮点数计算，问结果是否可靠？使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为（1）-（2）得，即，把的值代入（1）得；把的值代入（2）得解不满足（2）式，解不满足（1）式，故在十进制三位浮点数解该方程用消元法计算结果不可靠。7计算函数和处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。哪个结果较正确？即，而当时的精确值为1.6852，故的算法较正确。8按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：（2）。（1）=（2）=9已知三角形面积，其中。证明：。由自变量的误差对函数值的影响公式： 得（当时，），命题得证。习题二1找出下列方程在附近的含根区间。（3）；（4）；（1）设，则，由的连续性知在内，=0有

4、根。同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为；2用二分法求方程在内的根的近似值并分析误差。令，则有，所以函数在上严格单调增且有唯一实根。本题中求根使得误差不超过，则由误差估计式，所需迭代次数满足，即取便可，因此取。用二分法计算结果列表如下：由上表可知原方程的根该问题得精确解为，故实际误差为3判断用等价方程建立的求解的非线性方程在1.5附近的根的简单迭代法的收敛性，其中（A）；（B）；（C）取1.5附近区间来考察。（A），显然当时，单调递减，而， ，因此，当时， 。又当时，由迭代法收敛定理，对任意初值，迭代格式， 收敛。（B），则， ，所以当时， 。由迭代法收敛定理

5、，对任意初值，迭代格式，收敛。（C），由于当时，有所以对任意初值（原方程的根除外），迭代格式 发散。4确定的简单迭代法的收敛区间。如果收敛，试估计使精度达到时所需的迭代次数并进行计算。 （B）； （C）（A）方程为，设，则，故有根区间为，题中，故迭代公式在含根区间内收敛。（B）方程为，设，则，（C）方程为，设，则，故有含根区间，题中，5对下点列用埃特金方法加速。由埃特金加速公式计算，结果列下表：6令初值，分别用牛顿迭代法，双点弦割法和单点弦割法求解方程的解。牛顿迭代法，满足，由牛顿迭代法的收敛条件知当取初值为时迭代法收敛。牛顿迭代格式为：在第6部迭代后，迭代点得小数点后14位已无变化，故可取双

6、点弦割法双点弦割法迭代格式为：在第8部迭代后，迭代点得小数点后14位已无变化。以后，迭代点得小数点后11位已无变化，因收敛速度较慢，故只精确到小数点后11位7建立利用方程求的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性。令，因为当时，故对于任何满足，即的初值，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于。8建立利用方程求的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性。令，因为当时，9判断用Newton迭代求解方程的收敛性。由 ，当时，要使Newton迭代法收敛对于初值，需满足，显然这样得初值是不存在的，故当时，Newton迭代法不收敛。当时，同上的分析方法可得，初值也不存在的，故当时，Newton迭代法也

7、不收敛。所以用Newton迭代求解方程不收敛。10写出求解方程的Newton迭代格式并判断以下情形的收敛性。 （2）； （3）。解之得：（1）当时，故迭代序列不收敛；（2）当时，迭代序列收敛，但不收敛于方程的解；（3）当时，从而，迭代序列收敛，且收敛于方程的解。11求分别用下列迭代格式求解方程时的收敛阶。（1）Newton迭代格式；（2）迭代格式。显然，否则没意义。易知Newton迭代格式收敛于，又（1）Newton迭代格式的收敛阶为（2）迭代格式迭代格式的收敛阶为12当初值取为下列各值时，用下山Newton迭代求解方程组是否收敛？若收敛，收敛于哪一个根？（1） （2）由下山Newton迭代格

8、式习题三11分别用高斯消元法和列选主元法解方程组（精确到小数点后四位）：高斯消元法：高斯列选主元消元法2分别用高斯消元法和列选主元法解方程组高斯消元法列选主元法3.方程组 Ax=b 经过一次Gauss消元后,系数矩阵A=, 变为,其中=为（n-1）（n-1）矩阵.其元素为=-/, 2,3,n.证明下面结论:（1）当A对称正定时, 也对称正定;（2）当A对角占优时, 也对角占优.证明:（1）因为A对称,所以 ;=-/=故对称;A正定, ，又 =其中: 显然, 非奇异;对任何x , 有:A正定, ， 正定;又: = 而 故正定;当A对角占优时,故 对角占优4.证明 （1）两个单位上（下）三角形矩阵

9、的乘积仍为单位上（下） 三角形矩阵;（2）两个上（下）三角形矩阵的乘积仍为上（下） 三角形矩阵.（1） 不妨考虑证单位下三角矩阵,单位上三角矩阵证明方法相同设 AB=C 其中:当ij 时当时，所以,C为单位上三角矩阵证明方法类似（1）5证明单位上（下）三角形矩阵的逆矩阵仍为单位上（下）三角形矩阵;非奇异上（下）三角形矩阵的逆矩阵仍为非奇异的上（下）三角形矩阵;6.用矩阵的三角分解求解下列线形代数方程组（2）（3）（4）解7求解矩阵方程。解； X=8用追赶法解线性代数方程组， ， ，10证明等价关系：又，所以由Cauchy不等式知： ，所以：综上说述，即证。11证明由 定义的|是中的范数。显然：

10、 且任意常数=|A|A+B|= =+12 证明对任何 由于 故，因此，另一方面：设指标满足：定义如下： 显然，=1而且，从而，即成立：综上得命题成立13研究线形代数方程组的性态，并求精确解，设近似解，计算余量以及近似解的相对误差因为该线性方程组的系数矩阵的逆矩阵为：条件数为4.0020e+003，远大于1。所以其为病态的，其精确解为：余量为：r=，所以：14计算Hilbert矩阵先求出的逆矩阵然后，计算 得出：15求用雅克比迭代解下列线性代数方程组的两次迭代解（取初始向量0）。（1）雅可比迭代式为：，取则（2）雅可比迭代式为取，则16若要求精度，仍用雅克比迭代求解15题，至少需迭代多少次？1）

11、 雅可比迭代矩阵为：由公式知，需要10次迭代（2）雅可比迭代矩阵为：，同上，需要22次迭代。17求用高斯塞德尔迭代求解15题的两次迭代解（取初始向量0）。（1）高斯赛德迭代式（2）高斯赛德迭代式取 则18求用SOR迭代（）求解15题的两次迭代解（取初始向量0）。k=0,1,（2） k=0,1,19设有线性代数方程组判断雅克比迭代的收敛性；判断高斯塞德尔迭代的收敛性。（1）雅克比迭代矩阵故雅克比迭代发散（2） 高斯塞德尔迭代矩阵=，故高斯塞德尔迭代收敛20设矩阵A为二阶矩阵，且。证明雅克比迭代和高斯塞德尔迭代同时收敛或发散。 因为，所以雅克比迭代矩阵高斯塞德尔迭代矩阵所以，雅克比迭代和高斯塞德尔

12、迭代同时收敛或发散。21设线性代数方程组为试用最速下降法求解（取初始向量，计算到）；试用共轭梯度法求解（取初始向量）。（1）最速下降法由 和K=0,1,2,3 得 0.50000.16670.5000（2）共轭梯度法由K=0,1 得，即为精确解习题四1.已知ln（2.0）=0.6931;ln（2.2）=0.7885,ln（2.3）=0.8329,试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差线形插值：取=0.7410抛物线插值：=0.7422.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值3.设函数f（x）在a,b上具有直到二阶的连续导数,且f（a）=f（b）=0,求证:取，4.证明n次Lagrange插值多项式基函数满足=0所以 即证5.证明、