1、1 .6 全概率公式1.有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个签,说明两人抽“中的概率相同。2. 第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中随机地取一个球,求取到红球的概率。1 .7 贝叶斯公式1某厂产品有70%不需要调试即可出厂,另30%需经过调试,调试后有80%能出厂,求(1)该厂产品能出厂的概率,(2)任取一出厂产品, 求未经调试的概率。2将两信息分别编码为A和B传递出去,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,B被误收作A的概率为0.01,信息A与信息B传递的频繁程度为3 : 2,若接收站收到的信息是A,问原发
2、信息是A的概率是多少?1 .8 随机事件的独立性1. 电路如图,其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路(用T表示)的概率。 A B L R C D 3.甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中,相互独立, 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。第1章作业答案1 .1 1:(1); (2)2: (2)正正,正反正正,反反正正,正反,反正。1 .2 1: (1) ;(2) ;(3) ;(4);(5) ;(6) 或 ; (1);(2);(3);(4)或 ;(5)。1 .3 1: (1)
3、 =0.3, (2)= 0.2, (3) = 0.7. 2:)=0.4.1 .4 1:(1),(2)(,(3)1-(.1 .5 1:. 2/6; 2: 1/4。1 .6 1: 设A表示第一人“中”,则 P(A) = 2/10设B表示第二人“中”,则 P(B) = P(A)P(B|A) + P()P(B|) =两人抽“中的概率相同, 与先后次序无关。 随机地取一盒,则每一盒取到的概率都是0.5,所求概率为:p = 0.5 0.4 + 0.5 0.5 = 0.451 .7 1:(1)94% (2)70/94; 0.993;1 .8. 1: 用A,B,C,D表示开关闭合,于是 T = ABCD, 从
4、而,由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) = P(A)P(B) + P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D) (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38; (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章 随机变量及其分布2.1 随机变量的概念,离散型随机变量1 一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球,从中随机地取3个,用X表示取出的3个球中的最大号码., 试写出X的分布律.2 某射手有5发子弹,每次命中率是0.4
5、,一次接一次地射击,直到命中为止或子弹用尽为止,用X表示射击的次数, 试写出X的分布律。2.2 分布和泊松分布1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从=4的泊松分布,求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率;(2)每分钟只少有1次呼叫的概率;(3)每分钟最多有1次呼叫的概率;2 设随机变量X有分布律: X 2 3 , Y(X), 试求: p 0.4 0.6(1)P(X=2,Y2); (2)P(Y2); (3) 已知 Y2, 求X=2 的概率。2.3 贝努里分布1一办公室内有5台计算机,调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6,计算机是否被使用相互独立,问在同一时刻(1) 恰有2台计
6、算机被使用的概率是多少?(2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少?(3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少?(4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少?2 设每次射击命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ?2.4 随机变量的分布函数1设随机变量X的分布函数是: F(x) = (1)求 P(X0 ); P;P(X1),(2) 写出X的分布律。2 设随机变量X的分布函数是:F(x) = , 求(1)常数A, (2) P.2.5 连续型随机变量1 设连续型随机变量的密度函数为:(1)求常数的值;(2)求X的分布函数F(x),画出F(x) 的图形,(3
7、)用二种方法计算 P(- 0.5X2.6 均匀分布和指数分布1设随机变量K在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 4+ 4Kx + K + 2 = 0有实根的概率。2 假设打一次电话所用时间(单位:分)X服从的指数分布,如某人正好在你前面走进电话亭,试求你等待:(1)超过10分钟的概率;(2)10分钟 到20分钟的概率。2.7 正态分布1 随机变量XN (3, 4), (1) 求 P(2X5) , P(- 42), P(X3);(2)确定c,使得 P(Xc) = P(Xc)。2 某产品的质量指标X服从正态分布,=160,若要求P(120200)0.80,试问最多取多大?2.8 随机变量
8、函数的分布1设随机变量的分布律为; X 0 1 2 p 0.3 0.4 0.3Y = 2X 1, 求随机变量的分布律。2设随机变量的密度函数为:,;求随机变量Y的密度函数。3. 设随机变量服从(0, 1)上的均匀分布, ,求随机变量Y的密度函数。第2章作业答案2.1 1: X 3 4 5 p 0.1 0.3 0.6 X 1 2 3 4 5 p 0.4 0.60.4 0.60.612.2 1: (1) P(X = 1) = P(X1) P(X2) = 0.981684 0.908422 = 0.073262, (2) P(X1) = 0.981684, (3) P(X1) = 1 - P(X2)
9、 = 1 0.908422 = 0.091578。(1) 由乘法公式:P(X=2,Y2) = P(X=2) P(Y2 | X=2)= 0.4 ()= 2(2)由全概率公式:P(Y2) = P(X=2) P(Y2 | X=2) + P(X=3) P(Y2 | X=3)= 0.45 + 0.6= 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 (3)由贝叶斯公式:P(X=2|Y2)=2.3 1: 设X表示在同一时刻被使用的台数,则 X B(5, 0.6),(1) P( X = 2 ) = (2) P(X 3 ) = (3) P(X 3 ) = 1 - (4)P(X 1 ) = 1 - 至少
10、必须进行11次独立射击.2.4 1:(1)P(X0 )=0.5; P = 0.5;P(X1) = 0.5, (2) X的分布律为: X -1 1 P 0.5 0.5 (1) A = 1, (2) P =1/62.5 1:(1),(2);(3)P(- 0.50.5) = ; 或= F(0,5) F(-0.5) = 。 2: (1) (2)2.6 1: 3/5 2: 2.7 1:(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5;(2) c = 3, 2:31.25。2.8 1: Y - 1 1 3 p 0.3 0.4 0.3 , 3: ;第3章 多维随机变量3.1 二维离散型随机变量
11、1.设盒子中有2个红球,2个白球,1个黑球,从中随机地取3个,用X表示取到的红球个数,用Y表示取到的白球个数,写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。2.设二维随机变量的联合分布律为: X Y 0 1 2 试根椐下列条件分别求a和b的值; 0 0.1 0.2 a 1 0.1 b 0.2 (3)设是的分布函数,。3.2 二维连续型随机变量1.的联合密度函数为:求(1)常数k;(2)P(X1/2,Y1/2);(3) P(X+Y1);(4) P(X1/2)。2的联合密度函数为:(2)P(X+Y(3) P(X3.3 边缘密度函数1.设(X, Y) 的联合密度函数如下,分别求与的边缘密度函数。2.
12、 设(X, Y) 的联合密度函数如下,分别求与的边缘密度函数。 3.4 随机变量的独立性1.(X, Y) 的联合分布律如下, X Y 1 2 3 试根椐下列条件分别求a和b的值; 1 1/6 1/9 1/18(1) ; 2 a b 1/9 (3)已知与相互独立。2.(X,Y) 的联合密度函数如下,求常数c,并讨论与是否相互独立?第3章作业答案3.1 1: X Y 1 2 2: (1) a=0.1 b=0.3 1 0.4 0.3 0.7 (2) a=0.2 b=0.2 2 0.3 0. 0.3 (3) a=0.3 b=0.1 0.7 0.3 1 3.2 1:(1) k = 1;(2) P(X1/2, Y1/2) = 1/8;1) = 1/3;1/2) = 3/8。(1) k = 8;(2) P(X+Y1) = 1/6;1/2) = 1/16。3.3 1:3.4 1: (1)a=1/6 b=7/18; (2) a=4/9 b=1/9;(3)a = 1/3, b = 2/9。 c = 6, X与Y相互独立。第4章 随机变量的数字特征4.1 数学期望
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