1、(2)即矩阵每行的元素和等于1如果我们考虑状态多次转移的情况,则有过程在n时刻处于状态i,n+k时刻转移到状态j的k步转移概率:同样由平稳性,上式概率与n无关,可写成记 (2)称为k步转移概率矩阵其中具有性质:; 一般地有,若为一步转移矩阵,则k步转移矩阵 (3)(2)状态转移概率的估算在马尔可夫预测方法中,系统状态的转移概率的估算非常重要估算的方法通常有两种:一是主观概率法,它是根据人们长期积累的经验以及对预测事件的了解,对事件发生的可能性大小的一种主观估计,这种方法一般是在缺乏历史统计资料或资料不全的情况下使用二是统计估算法,现通过实例介绍如下例3 记录了某抗病毒药的6年24个季度的销售情
2、况,得到表1试求其销售状态的转移概率矩阵表1 某抗病毒药24个季度的销售情况季度销售状态11 (畅销)71(畅销)13192(滞销)281420391521410162251117236121824分析表中的数据,其中有15个季度畅销,9个季度滞销,连续出现畅销和由畅销转入滞销以及由滞销转入畅销的次数均为7,连续滞销的次数为2由此,可得到下面的市场状态转移情况表(表2)表2 市场状态转移情况表 下季度药品所处的市场状态本季度药品所处的市场状态现计算转移概率以频率代替概率,可得连续畅销的概率:分母中的数为15减1是因为第24季度是畅销,无后续记录,需减1同样得由畅销转入滞销的概率:滞销转入畅销的
3、概率:连续滞销的概率:综上,得销售状态转移概率矩阵为:从上面的计算过程知,所求转移概率矩阵P的元素其实可以直接通过表2中的数字计算而得到,即将表中数分别除以该数所在行的数字和便可:Matlab程序:format ratclca= 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2,1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1;for i=1:for j=1:f(i,j)=length(findstr(i j,a);endfni=(sum(f)p(i,:)=f(i,:)/ni(i);p由此,推广到一般情况,我们得到估计转移概率的方法:假定系统有m种状态S1,S2,Sm,根据系统的状态转移的历史记录
4、,得到表3的统计表格,以表示系统从状态i转移到状态j的转移概率估计值,则由表3的数据计算估计值的公式如下:表3 系统状态转移情况表系统下步所处状态S1S2Sm系统n11n12n1m本步n21n22n2m所处状态n m1n m2n mmThe 鐗祫 Lu tells the 槗 Juan 績(3)带利润的马氏链The 鍒嗛攢 Bi 勬簮 Nao 勫垝在马氏链模型中,随着时间的推移,系统的状态可能发生转移,这种转移常常会引起某种经济指标的变化如抗病毒药的销售状态有畅销和滞销两种,在时间变化过程中,有时呈连续畅销或连续滞销,有时由畅销转为滞销或由滞销转为畅销,每次转移不是盈利就是亏本假定连续畅销时盈
5、r11元,连续滞销时亏本r22元,由畅销转为滞销盈利r12元,由滞销转为畅销盈利r21元,这种随着系统的状态转移,赋予一定利润的马氏链,称为有利润的马氏链对于一般的具有转移矩阵The strand 岀 Huai 鏉 warship 鐮 ?The 鎹畻 Geng?的马氏链,当系统由i转移到j时,赋予利润rij(i,j=1,2,N),则称 (5)The 鐗祦鍙 mixs to splash为系统的利润矩阵,rij 0称为盈利,rij 0称为亏本,rij = 0称为不亏不盈The 鐗祦鑱旂洘随着时间的变化,系统的状态不断地转移,从而可得到一系列利润,由于状态的转移是随机的,因而一系列的利润是随机变量
6、,其概率关系由马氏链的转移概率决定例如从抗病毒药的销售状态的转移矩阵,得到一步利润随机变量、的概率分布分别为:The Ma 炵 draws the Qian 撳瓨 Chen 厖 Cong 垝 r11The 鐗祫鍗忎綔r12The 鐗祫 Cong 垝r21The 鐗祫 Cong 垝r22概 率p11p12p21p22其中 p11+ p12 = 1 ,p21+ p22 = 1如果药品处于畅销阶段,即销售状态为i =1,我们想知道,经过n个季度以后,期望获得的利润是多少?为此,引入一些计算公式首先,定义为抗病毒药现在处于,经过步转移之后的总期望利润,则一步转移的期望利润为:其中是随机变量的数学期望二
7、步转移的期望利润为:其中随机变量(称为二步利润随机变量)的分布为:例如,若, 则抗病毒药销售的一步利润随机变量:-70.50.40.6抗病毒药畅销和滞销时的一步转移的期望利润分别为:二步利润随机变量为:9+63-33+6-7-3抗病毒药畅销和滞销时的二步转移的期望利润分别为:一般地定义k步转移利润随机变量的分布为:则系统处于状态i经过k步转移后所得的期望利润的递推计算式为: (6)当k=1时,规定边界条件称一步转移的期望利润为即时的期望利润,并记可能的应用题型题型一、市场占有率预测例题1在购买该药的总共1000家对象(购买力相当的医院、药店等)中,买A、B、C三药厂的各有400家、300家、3
8、00家,预测A、B、C三个厂家生产的某种抗病毒药在未来的市场占有情况。顾客订货情况如下表5:表5 顾客订货情况表 下季度订货情况合计来自ABC16012040018090303005202401000模型建立与求解一、问题分析目前的市场占有情况为:在购买该药的总共1000家对象(购买力相当的医院、药店等)中,买A、B、C三药厂的各有400家、300家、300家,那么A、B、C三药厂目前的市场占有份额分别为:40%、30%、30%称(0.4,0.3,0.3)为目前市场的占有分布或称初始分布此外,我们需要查清使用对象的流动情况。流动情况的调查可通过发放信息调查表来了解顾客以往的资料或将来的购买意向
9、,也可从下一时期的订货单得出。由题已知顾客订货情况如下表52、模型的建立2.1模型构建假定在未来的时期内,顾客相同间隔时间的流动情况不因时期的不同而发生变化,以1、2、3分别表示顾客买A、B、C三厂家的药这三个状态,以季度为模型的步长(即转移一步所需的时间),那么根据表5,我们可以得模型的转移概率矩阵:矩阵中的第一行(0.4,0.3,0.3)表示目前是A厂的顾客下季度有40%仍买A厂的药,转为买B厂和C厂的各有30%同样,第二行、第三行分别表示目前是B厂和C厂的顾客下季度的流向由P我们可以计算任意的k步转移矩阵,如三步转移矩阵:从这个矩阵的各行可知三个季度以后各厂家顾客的流动情况如从第二行(0
10、.504,0.252,0.244)知,B厂的顾客三个季度后有50.4%转向买A厂的药,25.2%仍买B厂的,24.4%转向买C厂的药设表示预测对象k季度以后的市场占有率,初始分布则为,市场占有率的预测模型为 (7)已知,由此,我们可预测任意时期A、B、C三厂家的市场占有率例如,三个季度以后的预测值为: 大致上,A 厂占有一半的市场,B厂、C厂各占四分之一模型(7)可推广到N个状态的情形:(8)如果我们按公式(7)继续逐步求A、B、C三家的市场占有率,会发现,当k大到一定的程度,S (k) 将不会有多少改变,即有稳定的市场占有率,设其稳定值为,满足事实上,如果市场的顾客流动趋向长期稳定下去,则经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态,即顾客的流动,不会影响市场的占有率,而且这种占有率与初始分布无关如何求出这种稳定的市场占有率呢?2.2模型求解以A、B、C三家的情况为例,当市场出现平衡状态时,从公式(7)可得方程S = S P,即由此得经整理,并加上条件,得0.4 0.3 0.3,0.6 0.3
copyright@ 2008-2022 冰豆网网站版权所有
经营许可证编号:鄂ICP备2022015515号-1