数学教学中应充分重视定理教学Word文档下载推荐.docx

1、一、教学环节对几何定理的教学,我们在集中讲授时分5个环节。第1、2 环节是理解定理的基本要求;第3 环节是基本推理模式,第4 环节是定理在推理过程中的呈现方式,提出了“模式+定理”的书写方法;第5 环节是定理在解题分析时的导向作用,提出了“图形+定理”的思考方法。程序图设计如下:基本要求 重新建立表象 推理模式 组合定理 联想定理二、操作分析和说明 定理的基本要求我们认为,能正确书写证明过程的前提是学会对几何定理的书写,因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位。因而在教学中我们采取了“一划二画三写”的步骤,让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求,并重新整理了初中阶段的定理（见附页,此只列出与本

2、文有关的定理）,集中展示给学生。例如定理43:直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。一划:就是找出定理的题设和结论,题设用直线,结论用波浪线,要求在划时突出定理的本质部分。如:“直角三角形”和“高线”、“相似”。二画:就是依据定理的内容,能画出所对应的基本图形。三写:就是在分清题设和结论的基础上,能用符号语言表达 ,允许采用等同条件。ABC是Rt,CDAB于D（条件也可写成:ACB=90,CDB=90等） ACDBCDABC 。学生在书写时果然出现了一些问题:不理解每个定理的条件和结论。学生在书写时往往漏掉条件（如定理19漏掉垂直,定理46漏掉高、中线等）;对条件太简单的

3、不会写（如定理3）;或者把条件当成结论（如定理12把三线都当成结论）。还表现在思维偏差。我们的要求是会用定理,而有些学生把定理重新证明一遍（如定理5、6）;或者在一个定理中出现 ,又,的错误。更多的是没有抓住本质。具体表现在把非本质的条件当成本质条件（如定理7出现 1 和2是同位角,ABCD）;条件重复（如定理49,结论APO=BPO已经包括过圆心O,学生在条件中还加以说明）;图形过于特殊（如把定理1的图画成射影定理的基本图形）;文字过多（一些定理译不出符号语言,用文字代替）等。 重新建立表象从具体到抽象,由感性到理性已成为广大数学教师传授知识的重要原则。“表象”就是人们对过去感知过的客观世界

4、中的对象或对象在头脑中留下来的可以再现出来的形象,具有一定的鲜明性、具体性、概括性和抽象性。由于几何的每一个定理都对应着一个图形,这给我们在教学中提供了一定的便利。我们要求学生对定理的表象不能只停留在实体的形象上,而是让学生有意识的记图形,想图形,以形成和唤起表象。我们认为,这对于理解、巩固和记忆几何定理起着重大的作用。教给学生想形象的基本方法后,我们接下去的步骤是用实例引导学生,下面是一段经整理后的课堂教学主要内容: 问:听了老师的介绍后,你怎样回忆垂径定理的形象?答:垂径定理我在想的时候,脑子里留下“两条等弧、两条相等的线段、一个直角”在一闪一闪的,以后看到弧相等或其他两个条件之一,脑子里

5、就会浮现出垂径定理。目的:建立单个定理的表象,要求能想到非标准图形。继续问:看到弧相等,你们只想到了垂径定理,其他的定理就没有想起来吗?想到了圆心角相等、圆周角相等、弦相等甚至有学生想到了两条平行弦通过表象,进行联想,使学生理解定理间的联系。 问:从定理21开始,你能找出和它有联系的定理吗?有定理22（擦短使平行直线变成线段）,定理25（特殊化成菱形）,定理27一般化或特殊化或图形的平移、旋转等变化,加深定理间的联系。下面的步骤,我们让学生自主思考。学生在不断尝试的过程中,通过比较、分析、判断,进一步熟悉定理的三种语言、定理之间的联系和区别。从学生思考的角度看,他们主要是在寻找基本图形,由于定

6、理之间有一定的联系,在一个基本图形中往往存在着另一个残缺的基本图形,所以学生大多通过连线、延长、作圆、平移、旋转等手段,也有通过特殊化、找同结论等途径把不同的定理联系起来。下面摘录的是学生自主思考后,得到的富有创意性的结论。定理16（延长中线成矩形） 定理24（作矩形的外接圆） 定理34。定理51（一线过圆心,且两线垂直） 定理36（一线平移成切线） 定理47、48（绕切点旋转） 定理50。如下图,把 EF 向下平移（或绕A点旋转）,使定理37和50联系起来（有同结论 =D）: 推理模式从学生各方面的反馈情况看,多数学生觉得几何抽象还在于几何推理形式多样、过程复杂而又摸不定,往往听课时知道该如

7、何写,而自己书写时又漏掉某些步骤。怎样将形式多样的推理过程让学生看得清而又摸得着呢?为此,我们在二步推理的基础上,经过归纳整理,总结了三种基本推理模式。具体教学分三个步骤实施:精心设计三个简单的例题,让学生归纳出三种基本推理模式。 条件 结论 新结论 （结论推新结论式） 新结论 （多个结论推新结论式） 新结论 （结论和条件推新结论式）通过已详细书写证明过程 的题目让学生识别不同的推理模式。通过具体习题,学生有意识、有预见性地练习书写。这一环节我们的目的是让学生先理解证明题的大致框架,在具体书写时有一定的模式,有效地克服了学生书写的盲目性。但教学表明学生仍然出现不必要的跳步,这是什么原因呢?我们

8、把它归结为对推理的因果关系不明确、定理是推理的依据和单位不明白。因而我们根据需要,又设计了以下一个环节。 组合定理基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节,我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式,然后由几个定理组合后构造图形,进一步强化学生“用定理”的意识。下面通过一例来说明这一步骤的实施。例1:已知如图,四边形ABCD外接O的半径为5,对角线 AC 与 BD 相交于E,且 AB = AEAC,BD= 8。求BAD的面积。（2001年嘉兴市质量评估卷六）证明:连结OB,连结OA交BD于F。学生从每一个推测符号中找出所对应的定理和隐含的主要定理:比例

9、基本性质 S/AS/ 证相似 相似三角形性质 垂径定理 勾股定理 三角形面积公式由于学生自己主动找定理,因而印象深刻。在证明过程中确实是由一个一个定理连结起来的,也让学生体会到把定理（不排除概念、公式等）镶嵌在基本模式中,就能形成严密的推理过程。此时,可顺势布置以下的任务:给出勾股定理,你能再结合一个或多个定理,构造图形,并编出证明题或计算题吗?实践表明:经过“模式+定理”书写方法的熏陶后,学生基本具备了完整书写的意识。 联想定理分析图形是证明的基础,几何问题给出的图形有时是某些基本图形的残缺形式,通过作辅助线构造出定理的基本图形,为运用定理解决问题创造条件。图形固然可以引发联想（这也是教师分

10、析几何证明题、学生证题的基本方法之一）,但对于识图或想象力较差的学生来说,就比较困难,他们往往存有疑问:到底怎样才能分解出基本图形呢?在复杂的图形中怎样找到所需要的基本图形呢?因而我们从另一侧面,即证明题的“已知、求证”上给学生以支招,即由命题的题设、结论联想某些定理,以配合图形想象。例:如图,O1和O2相交于B、C两点,AB是O1 的直径,AB、AC的延长线分别交O2于D、E,过B作O1的切线交AE于F。求证:BFDE。讨论此题时,启发学生由题设中的“AB是O的直径”联想定理“直径所对的圆周角是90”,因而连结BC;“过B作O的切线交AE于F”联想定理“切线的性质”,得出ABF=90。从而构

11、造出基本图形。由命题的结论“BFDE”联想起“同位角相等,两直线平行”定理,构造出基本图形。将上述基本图形 的性质结合在一起,学生就易于思考了。这一环节我们的引导语有:“由已知中的哪一个条件,你能联想起什么定理?”、“条件组合后能构成哪个定理?”、“有无对应的基本图形?”、“能否构造出基本图形?”等。目的是让学生树立起“图形+定理”的思考方法,把以前的无意识思考变成有目的、有意识的思考。三、几点认识复习的效果最终要体现在学生身上,只有通过学生的自身实践和领悟才是最佳复习途径,因此在复习时,我们始终坚持主体性原则。在组织复习的各个环节中,充分调动学生学习的主动性和积极性:提出问题让学生想,设计问

12、题让学生做,方法和规律让学生体会,创造性的解答共同完善。“没有反思,学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平”（弗赖登塔尔）。我们认为传授方法或解答后让学生进行反思、领悟是很好的方法,所以我们在教学时总留出足够的时间来让学生进行反思,使学生尽快形成一种解题思路、书写方法。集中讲授能使学生对几何定理的应用有一定的认识,但如果不加以巩固,也会造成遗忘。因而我们也坚持了渗透性原则,在平时的解题分析中时常有意识地引导、反复渗透。参考资料: 高三数学第二轮复习的理论和实践 孟祥东等 中学数学教与学2019、3 全国初中数学教育第十届年会论文集 P380 、P470附录:初中数学几何定理集锦（摘录）1

13、。同角（或等角）的余角相等。3。对顶角相等。5。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。6。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。7。同位角相等,两直线平行。12。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。16。直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。19。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。21。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。22。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。24。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。25。菱形性质:四条边相等、对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。27。正方形的四个角都是直角,四条边相等。两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。34。在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等,那么它们所对应的其余各对量都相等。36。垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。43。46。相似三角形对应高