最新数学建模传染病模型Word文档下载推荐.docx

1、不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。 本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。同时，在对问题进行较为全面

2、评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。 关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。一、问题重述 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的感染人数。2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的

3、线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。二、问题分析1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口

4、相比是微小的。 因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。三、模型假设模型二和模型三的假设条件：假设一：在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类（取两个词的第一个字母，称之为SI模型），以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s（t）和i（t）。假设二：每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率。当病人与健康者接触时，使健康者受感染变为病人。假设三：模型三在假设一和假设二的基础上进行考虑，然后设病人每天治愈的

5、比例为，称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康者，显然1/是这种传染病的平均传染期。模型四的假设条件：假设四：总人数N不变。人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三类，称SIR模型。三类人在总数N中占的比例分别记作s（t）,i（t）和r（t）。假设五：病人的日接触率为，日治愈率为（与SI模型相同），传染期接触为 =/。四、符号说明t 某一具体时刻x（t）病人人数每天每个病人有效接触的人数N总人数s（t）健康者总人数i（t）病人总人数i初始时刻病人的比例t病人的最大值日治愈率1/平均传染率接触率r（t）移出者s初始时刻健康者的比例五、模型的建立与求解模型1 在这个最简单的

6、模型中，设时刻t的病人人数x（t）是连续、可微函数，并且每天每个病人有效接触（足以使人致病的接触）的人数为常数，考察t到病人人数的增加，就有方程（1）的解为 结果表明，随着t的增加，病人人数x（t）无限增长，这显然是不符合实际的。建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别这两种人。模型2（SI模型） 又因为 方程（5）是Logistic模型。它的解为 这时病人增加的最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。 其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变

7、成病人，病人不会再变成健康者。模型3（SIS模型） 有些传染病如伤风、痢疾等愈合后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以这个模型成为SIS模型。考虑到这一模型的假设条件，于是有 （8）可得微分方程 0 （9）定义 （10）其中是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数。得到 （11）模型4（SIR模型）大多数传染者如天花 流感 肝炎 麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），因此他们将被移除传染系统，我们称之为移除者，记为R类。SIR模型是指易感染者被传染后变为感染住，感病者可以被治愈

8、，并会产生免疫力，变为移除者。人员流动图为：S-I-R。1.模型构成：在假设1中显然有： s（t） + i（t） + r（t） = 1 （12）对于病愈免疫的移出者的数量应为 （13）不妨设初始时刻的易感染者、染病者、恢复者的比例分别为（0），=0，则SIR基础模型用微分方程组表示如下： （14）s（t） ， i（t）的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s（t） ， i（t）的一般变化规律。2.数值计算在方程（3）中设=1，=0.3，i（0）= 0.02，s（0）=0.98，用MATLAB软件编程：function y=ill（t,x）a=1;b=0.3;y=a*x（1）*x（2）-b

9、*x（1）;-a*x（1）*x（2）;ts=0:50;x0=0.20,0.98;t,x=ode45（ill,ts,x0）;plot（t,x（:,1）,t,x（:,2）pauseplot（x（:,2）,x（:,1） 输出的简明计算结果列入表1。i（t） , s（t）的图形以下两个图形，is图形称为相轨线,初值i（0）=0.02,s（0）=0.98相当于图2中的P0点,随着t的增,（s,i）沿轨线自右向左运动.由表1、图1、图2可以看出,i（t）由初值增长至约t=7时达到最大值,然后减少,t,i0,s（t）则单调减少,t,s0.0398. 并分析i（t）,s（t）的一般变化规律.表1 i（t）,s

10、（t）的数值计算结果 0 1 2 3 4 5 6 7 8i（t）0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s（t）0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027 t 9 10 15 20 25 30 35 40 450.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.039813.相轨线分析我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论

11、解i（t）,s（t）的性质。 D = （s，i）| s0，i0 ， s + i 1 （15）在方程（14）中消去并注意到的定义，可得 （16）所以：利用积分特性容易求出方程（5）的解为： （17）在定义域D内,（17）式表示的曲线即为相轨线,如图3所示.其中箭头表示了随着时间t的增加s（t）和i（t）的变化趋向。图3下面根据（14），（17）式和图3分析s（t）,i（t）和r（t）的变化情况（t时它们的极限值分别记作, 和）.1. 不论初始条件s0,i0如何,病人将消失,即：2. 最终未被感染的健康者的比例是 ,在（7）式中令i=0得到, 是方在（0,1/）内的根.在图形上 是相轨线与s轴在（0,1/）内交点的横坐标3.若1/,则开始有，i（t）先增加, 令=0，可得当s=1/时,i（t）达到最大值：然后s1/时，有 ，所以i（t）减小且趋于零,s（t）则单调减小至,如图3中由P1（