高中数学不等式初步Word文档格式.docx

1、可见：有从大到小的顺序是：平方算术，几何调和2、指数不等式： （当且仅当由于要求不等式右边，故：记忆方法见函数图.曲线在区间都处在直线的上方，仅在处相切. 即：，当且仅当时取等号.时，左边，右边故：3、对数不等式：由于0和负数没有对数，所以：的下方，仅在当且仅当时取等号也可以由得：两边取对数：著名的对数不等式是： （）4、柯西不等式：设向量，向量其中：为在正交系中的各分量；正交系中的各分量.则由向量公式：两边自乘得：将上面的结果代入得：这正是柯西不等式.则：.5、琴生不等式： 设在区间为上凸函数，如图即的二次导数图中，点为均值的函数值，点为函数的均值.即：对于上凸函数，函数的均值不大于均值的函

2、数值.为下凸函数，如图对于下凸函数，函数的均值不小于均值的函数值.上面的式，称为琴生不等式.对于函数，在区间为上凸函数，因为（区间为上凸函数.此时，则而. 故：二次函数所以下凸函数.区间有：其实，在区间，都满足推广为一般形式对于的上凸函数，即:，有：的下凸函数，即:这就是琴生不等式. 注意不等号的方向与二次导数的方向一致.6、伯努利不等式：由二项式定理得：时， （仅当当7、向量不等式：向量三角形：和 向量点乘：由构成的三角形，由三角形两边之和大于第三边得. 构成的三角形，由三角形两边之差小于第三边得；由向量积的公式得：若，则：上面这几种基本不等式的简单记忆方法：均值定理四兄弟，对数指数俩伴侣；

3、柯西琴生伯努利，向量三角点乘积.上述不等式的解法统称“公式法”.凡解证不等式，首先考虑用上述的不等式，能使用的尽量使用. 不能直接使用的，但经过变形后能使用的，也要尽量使用，即尽一切可能使用上述不等式. 二、求不等式的基本方法1、作差法：将比较的两对象相减后，其差与0比较大小的方法. 最常用的是构建函数法. 例如，证明，则构建2、作商法：将比较的两正数对象相比后，其商与1比较大小的方法.例如，证明. 将其变形为与1比大小.3、公式法：用前面不等式的公式得到结果的方法.即均值定理、柯西不等式等.4、单调性法：利用函数在某区间的单调性得出大小的方法. 例如，函数在区间单调递增，则有：5、放缩法：由

4、等式的一边经过放大或缩小将等式变为不等式；或者大者变得更大，小者变得更小；从而使问题得到解决的方法.，原本，将右边减小变为式就是放缩法的结果.6、判别式法：如果一个二次函数过零点，即在零点存在二次方程的解，那么二次方程有解的条件是：判别式. 这里就自然出现了不等式.本方法用于处理二次函数时，包括二次函数的分式.7、换元法：将一个整式、分式或根式整体看做一个量进行处理的方法，主要是简化.特别是三角换元法. 因为三角函数本身有界，所以自然就有不等式. 此法要求常用的三角恒等式必须熟悉.8、裂项相消法：将一项式子分裂成两项或多项，在求和过程中有部分项相互抵消，从而得到简明结果的方法.例如，在放缩法中

5、的式，进一步得：这样，如果是求和，则可得结果：其中的是裂项.在求和过程中，好多项相互抵消9、倒序相加法：将一个多项求和的式子的一个正序列和一个倒序列按序相加的方法.例如，求. 其倒序后为：这两个式子按序相加后得：其中，每个圆括号内的值都是，共有项.故结果是：10、极值法（最值法）：求出函数在某个区间的极值，加上边界值找出最值，那么函数的最值就是出现不等式的方法.函数区间的最大值是8，则有11、积分法：积分实际上是求和，是简化求和运算的一种方法. 如果函数是单调的，函数的每一小区间内就会出现不等号，求和后依然存在不等号.积分法最好要画出简明图，可以看出单调性和不等的量.上面这几种求不等式的基本方法简单记忆：作差与0比大小，作商与1比高下；套用公式得结果，单调放缩有小大；二次函数过零点，判别式与换元法；倒序相加来求和，裂项相消去简化；极值最值亦可得，单调积分好方法.例题 已知：，求证：证明： 用均值定理：同理：两式相加得：用琴生不等式构建函数：代入琴生不等式权方和不等式 （超纲）权方和不等式：若（或这就是权方和不等式.本题：例题 不等式的解集为（ ）.解析： 首先将区间按绝对值内各项变号点来分段.绝对值内的变号点为于是，整个实数区间被这两个点分成了段，即：区间：代入满足区间要求，故：.不满足不等式区间要求，即本区间无解.综上，本题的解集为. 本题答案.