1、()求函数的单调递增区间;()证明:当时,;()确定实数的所有可能取值,使得存在,当时,恒有变式训练2.【2016高考新课标文数】设函数.(1)讨论的单调性;(2)证明当时,;(3)设,证明当时,.考点3.构造函数与二次求导【例3】设函数(其中).() 当时,求函数的单调区间;() 当时,求函数在上的最大值.【归纳总结】二次求导的原因是导函数无法用初等方程的求解,尤其是超越方程,使用二次求导可以化解很多一次求导函数零点“求之不得”的问题。变式训练3.(2012年全国卷)设函数(1)求的单调区间;(2)若,为整数,且当时,求的最大值变式训练4.(2014年山东卷)设函数(为常数,是自然对数的底数
2、)(1)当时,求函数的单调区间;(2)若函数在内存在两个极值点,求的取值范围【基础练习巩固】1设函数满足,则时,( )A有极大值,无极小值 B有极小值,无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值2设函数,其中(1)当时,证明不等式;(2)设的最小值为,证明3 已知函数,证明: 当且时4.【2016高考新课标2理数】()讨论函数的单调性,并证明当时,; 当时,函数有最小值.设的最小值为,求函数的值域构造函数求导与“二次求导”【答案】A解析:记函数,则,因为当时,故当时,所以在上单调递减;又因为函数是奇函数,故函数是偶函数,所以在上单调递减,且.当时,则;当时,则,综上所述,使得成立的的
3、取值范围是,故选A.【答案】C【解析】由已知条件,构造函数,则,故函数在上单调递增,且,故,所以,所以结论中一定错误的是C,选项D无法判断;构造函数,则,所以函数在上单调递增,且,所以,即,选项A,B无法判断,故选C【答案】();()详见解析;()【解析】(I),由得解得故的单调递增区间是(II)令,则有当时,所以在上单调递减,故当时,即当时,(III)由(II)知,当时,不存在满足题意当时,对于,有,则,从而不存在满足题意当时,令,则有由得,解得,当时,故在内单调递增从而当时,即,综上,的取值范围是()由题设,的定义域为,令,解得.当时,单调递增;当时,单调递减. ()由()知,在处取得最大
4、值,最大值为,所以当时,.故当时,即. ()由题设,设,则,令,解得.当时,单调递减.由()知,故,又,故当时,.所以当时,. () 当时, , 令,得, 当变化时,的变化如下表:极大值极小值 右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.(),令,得, ,令,则,所以在上递增,所以,从而,所以所以当时,;当时,;所以,令,则,令,则,所以在上递减,而,所以存在使得,且当时, ,当时, ,所以在上单调递增,在上单调递减.因为,.所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.综上,函数在上的最大值.解 (1)的定义域为,若,则,在上单调递增;若,则当时,;当时,故在上单调递减,在上单调递增(2)由于,所以故当
5、时,等价于令,则,由(1)知函数在上单调递增而,所以在内存在唯一的零点,故在内存在唯一的零点,设此零点为,则当时,所以在内的最小值为又由,可得,所以由于式等价于,故整数的最大值为2解 (1)函数的定义域为,由可得,所以当时,函数单调递减;当时,函数单调递增所以的单调递减区间为,单调递增区间为(2)由()知,时,函数在内单调递减,即函数在在内不存在极点,故因为,记若函数在内存在两个极值点,则有两个零点因为,当时,在内成立,为单调递增函数,在内不存在两个极值点当时,在内成立,为单调递减函数,在内成立,为单调递增函数所以函数的最小值为若在内存在两个极值点,当且仅当,解得综上,在内存在两个极值点时,的
6、取值范围为由题意,令,则,且,因此令,则,所以时,;时,从而有,即,所以当时,是单调递增的,既无极大值也无极小值答案D(2)设的最小值为,证明证明:(1)设,则 当时,在上是增函数所以当时,即所以成立同理可证所以(2)由已知得函数的定义域为,且,令,得当时,函数在上单调递减;当时,函数在上单调递增所以的最小值,将代入,得,即.所以,即解析: 设,构造函数,则 当时可得,而,故当时,递减 所以得 当时,而,故当时,递减 所以,可得综上, 当且时()的定义域为.且仅当时,所以在单调递增,因此当时,所以(II)由(I)知,单调递增,对任意因此,存在唯一使得即,当时,单调递减;当时,单调递增.因此在处取得最小值,最小值为于是,由单调递增所以,由得因为单调递增,对任意存在唯一的使得所以的值域是综上,当时,有,的值域是
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