抛物线性质归纳证明和应用汇编Word格式文档下载.docx

1、以AB为直径的圆与准线相切. MN交抛物线于点Q，则，Q是MN的中点. y1y2p2； SOAB，S梯形ABCD.【证明】设过焦点F（，0）的AB的直线方程为xmy，代入抛物线方程y22px得 y22pmyp20，因此 y1y2p2，y1y22pm.另由得在RtCFD中，FRCD，有| RF |2| DR | RC |，而| DR | y1 |，| RC | y2 |，| RF |p，且y1 y20y1y2p2. 又点A、B在抛物线上，有x1，x2，因此x1x2. ，在直线AB方程xmy中令x0，得y3，代入上式得【证法一】根据抛物线的定义，| AF | AD |x1，| BF | BC |x

2、2， | AB | AF | BF |x1x2p又| AB | y2y1 | 2p（1m2）当m0时，m，有1m21（k为直线AB的斜率）当m0时，90，1m21也满足1m2| AB |2p（1m2） .【证法二】如图2，过A、B引x轴的垂线AA1、BB1，垂足为A1、B1，那么| RF | AD | FA1 | AF | AF |cos，| AF |同理，| BF | AB | AF | BF | .【证法三】极坐标法，设抛物线的极坐标方程为，则| AF |1 ，| BF |2 .SOABSOAFSOBF| OF | y1 | OF | y1 |（| y1 | y1 |）y1y2p2，则y1

3、、y2异号，因此，| y1 | y1 | y1y2 |SOAB| y1y2 | .又| CD | AB |sin ，| AD | BC | AB |.S梯形ABCD（| AD | BC |）| CD |.【例1】（2001年新课程高考文）设坐标原点为O，抛物线y22x与过焦点的直线交于A、B两点，则 （ ） A. B. C. 3 D. 3【解】设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2y1y2p2，故选B.【例2】（2009年福建理）过抛物线y22px（p0）的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p .【解】由性质得| AB |8，p4. 【证法一】由x

4、1x2，且| AF |x1，| BF |x2. 【证法二】由| AF |1 ，| BF |2 . 【例3】（2000全国）过抛物线yax2（a0）的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于 （ ） A. 2a B. C.4a D. 【解】由yax2得x2 y，（抛物线焦点到准线的距离为），由此得4a，故选C. AMBDFCRt，先证明：AMBRt【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图3，则ADMECM，| AM | EM |，| EC | AD | BE | BC | CE | BC | AD | | BF | AF | AB |ABE为等腰三角形，又M

5、是AE的中点，BMAE，即AMBRt【证法二】取AB的中点N，连结MN，则| MN |（| AD | BC |）（| AF | BF |）| AB |，| MN | AN | BN |ABM为直角三角形，AB为斜边，故AMBRt.【证法三】由已知得C（，y2）、D（，y1），由此得M（，）.kAM，同理kBMkAMkBM1BMAE，即AMBRt.【证法四】由已知得C（，y2）、D（，y1），由此得M（，）.（x1，），（x3，）（x1）（x2）x1x2（x1x2）（）0，故AMBRt.【证法五】由下面证得DFC90，连结FM，则FMDM.又ADAF，故ADMAFM，如图412，同理342318

6、090AMBRt.接着证明：DFCRt【证法一】如图5，由于| AD | AF |，ADRF，故可设AFDADFDFR，同理，设BFCBCFCFR，而AFDDFRBFCCFR1802（）180，即90，故DFC90【证法二】取CD的中点M，即M（，）由前知kAM，kCFkAMkCF，AMCF，同理，BMDFDFCAMB90.【证法三】（p，y1），（p，y2），p2y1y20，故DFC90.【证法四】由于| RF |2p2y1y2| DR | RC |，即，且DRFFRC90 DRFFRCDFRRCF，而RCFRFC90DFRRFC90 DFC90【例4】（2009年湖北文）如图7，过抛物线y

7、22px（P0）的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1，求证：FM1FN1 AM、BM是抛物线的切线【证法一】kAM，AM的直线方程为yy1（x）与抛物线方程y22px联立消去x得yy1（），整理得y22y1y0可见（2y1）240，故直线AM与抛物线y22px相切，同理BM也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y22px，两边对x求导，得2y2p，故抛物线y22px在点A（x1，y1）处的切线的斜率为k切| yy1.又kAM，k切kAM，即AM是抛物线在点A处的切线，同理BM也是抛物线的切线.【证法三】过点A（x1，y1）的切线方程为y

8、1yp（xx1），把M（，）代入左边y1px1，右边p（x1）px1，左边右边，可见，过点A的切线经过点M，即AM是抛物线的切线，同理BM也是抛物线的切线. AM、BM分别是DAB和CBA的平分线【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图9，则ADMECM，有ADBC，ABBE，DAMAEBBAM，即AM平分DAB，同理BM平分CBA.【证法二】由图9可知只须证明直线AB的倾斜角是直线AM的倾斜角的2倍即可，即2. 且M（，）tankAB.tankAM.tan 2tan2，即AM平分DAB，同理BM平分CBA. AM、DF、y轴三线共点，BM、CF、y轴三线共点【证法一】如图10，设AM与DF

9、相交于点G1，由以上证明知| AD | AF |，AM平分DAF，故AG1也是DF边上的中线，G1是DF的中点.设AD与y轴交于点D1，DF与y轴相交于点G2，易知，| DD1 | OF |，DD1OF，故DD1G2FOG2| DG2 | FG2 |，则G2也是DF的中点.G1与G2重合（设为点G），则AM、DF、y轴三线共点，同理BM、CF、y轴也三线共点.【证法二】AM的直线方程为yy1（x），令x0得AM与y轴交于点G1（0，），又DF的直线方程为y（x），令x0得DF与y轴交于点G2（0，）AM、DF与y轴的相交同一点G（0，），则AM、DF、y轴三线共点，同理BM、CF、y轴也三线共

10、点H由以上证明还可以得四边形MHFG是矩形. A、O、C三点共线，B、O、D三点共线【证法一】如图11，kOA，kOCkOAkOC，则A、O、C三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法二】设AC与x轴交于点O，ADRFBC，又| AD | AF |，| BC | BF |，| RO | OF |，则O与O重合，即C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法三】设AC与x轴交于点O，RFBC，| OF |【见证】O与O重合，则即C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法四】（，y2），（x1，y1），y1x1 y2y1 y20，且都以O为端点A、O、C三点共线，同理B、O、D三点共线.【推广】过定点P（m，0）的直线与抛物线y22px（p0）相交于点A、B，过A、B两点分别作直线l：xm的垂线，垂足分别为M、N，则A、O、N三点共线，B、O、M三点也共线，如下图： 【例5】（2001年高考）设抛物线y22px（p0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴. 证明直线AC经过原点O.【证法一】因为抛物线y22px（p0）的焦点为F（，0），所以经过点F的直线AB的方程可设为xmy；代入抛物线方程得y22pmyp20设A（x1，y1），B（x2