排列组合二十种经典解法Word文件下载.docx

1、分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存， 每步中的方法完成事件的一个阶段， 不能完 成整个事件解决排列组合综合性问题的一般过程如下 :1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事 ,即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时 进行 , 确定分多少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题 （ 有序） 还是组合 （ 无序） 问题, 元素总数是 多少及取出多少个元素 .4.解决排列组合综合性问题， 往往类与步交叉， 因此必须掌握一些常用的解 题策略1.特殊元素和特殊位置优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数

2、字五位奇数 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这 两个位置.先排末位共有c3然后排首位共有c4最后排其它位置共有A4由分步计数原理得CA3 288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 ，若以元素练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？2.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素， 同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 A

3、5A2A2 480种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题即将需要相邻 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为203.不相邻问题插空策略例3.个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 A：不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有a5a4 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两 个新节目如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相

4、邻， 那么不同插法的种数为_J0_4.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其 他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的 全排列数,则共有不同排法种数是：A；/ A；（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A；种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有A；种方法。思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（插入法）先排甲乙丙三个人，共有1种排法,再把其余4四人依次插入共 有 方法10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐 增加，共有多少排法？5.重

5、排问题求幕策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有 7_种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7种分依此类推，由分步计数原理共有76种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安 练习题：1 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 422.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法786.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐，共有多少种坐法？围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形

6、没有首尾之分，所以固定 一人A4并从此位置把圆形展成直线其余 7人共有（8-1）！种排法即7 ！般地,n个不同元素作圆形排列，共有（n-1）!种排法.如果从n个不同元素中取出 练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120n7.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排,共有多少排法8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排个特 殊元素有A2种,再排后4个位置上的特殊元素丙有 A4种，其余的5人在5个位置上任意排列有a：种，则共有a4a4a5种有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不

7、左右相邻，那么不同排法的种数是3468.排列组合混合问题先选后排策略 例8.有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少 不同的装法第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C；种方法.再把4个元素（包含一个复合元素）装入4个不同的盒内有a4种方法，根据分步计 数原理装球的方法共有C；A：一个班有6名战士 ,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不 同的任务,每人完成一种任务，且正副班长有且只有1人参加,则不 同的选法有192种9.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1, 5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？把1

8、 , 5 , 2 , 4当作一个小集团与3排队共有 A2种排法，再排小集团内部共有A2A2种排法，由分步计数原理共有 A；种排法.1 .计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列,要求同一一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为a；a；a：2. 5男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有a2a5a5种十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个 空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对 应地分给

9、7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有 C9种分法。将n个相同的元素分成m份（n, m为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1 练习题 1.10个相同的球装5个盒中，每盒至少一有多少装法？ C42 . x y z w 100求这个方程组的自然数解的组数 。池十一 .正难则反总体淘汰策略例11.从0,123,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种? 解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难，可用总体淘汰法。这 十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有 C53,只含有1个偶数的取法有cld,和为偶数的取法共有eld

10、 c5。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有clc； C； 9有些排列组合问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷 练习题：我们班里有43位同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至 少有一人在内的抽法有多少种？十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？分三步取书得c2c2c；种方法，但这里出现重复计数的现象,不妨记6 本书为ABCDE，若第一步取AB,第二步取CD第三步取EF该分法记 为 （AB,CD,EF）, 贝 U Cfcfc； 中 还 有（AB,EF,CD）,（CD,AB,EF）,（CD,EF,AB）（EF,CD,AB）

11、,（EF,AB,CD）共有3A3种取法,而这些分法仅是（AB,CD,EF） 一种分法,故共有 C；C：C；/A3 种分法。平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要一定要除以 练习题：1将13个球队分成3组，一组5个队,其它两组4个队,有多少分法?2.10名学生分成3组,其中一组4人，另两组3人但正副班长不能分在同一 组,有多少种不同的分组方法 （1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级 的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为 （ C2C；a6/A； 90）十三.合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能能

12、唱歌,5人会跳舞,现要演 出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少选派方法10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱 歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有CsCf种，只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员c5c；c：种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有C；种，由分类计数原理共有2 2 112c3 C3 C5C3C4解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续 练习题：1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须 既有男生又有女生，则不同的选法共有 34_2.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,2号船最多乘2人

13、,3号船只能乘1人，他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船，这3人共 有多少乘船方法 （27）本题还有如下分类标准：*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果十四.构造模型策略例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条 件的关灯方法有多少种？把此问题当作一个排队模型在 6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯 有C5种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排 练习题

14、：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么 不同的坐法有多少种？（ 120）十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5 的五个球和编号1,2,3,4,5 的五个盒子,现将5 个球投入这五个盒子内，要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编 号与盒子的编号相同，有多少投法从5个球中取出2个与盒子对号有C5种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下 3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4 号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5 号球有也只有1种装法，由分步计数原理有2Cs种3号盒 4 号盒 5 号盒对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法