届高三数学问题31应用三角公式化简求值的技巧问题含答案.docx

1、届高三数学问题31应用三角公式化简求值的技巧问题含答案2017届高三数学跨越一本线精品问题一：应用三角公式化简求值的技巧问题三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由于三角公式的特殊性,解题中往往也涉及一些小的变换技巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而准确地得到正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、次数、结构”等几方面着手解决.一、三角变换,角为先锋三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换中,应该首先注意角的形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果.【例1】【2017湖北省荆州高三上学期第一次质检】若,则( )A

2、 B C D【分析】根据可考虑利用诱导公式及二倍角公式求值【点评】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”(2)常见的配角技巧：2()(),(),()()等(3)常见的互余和互补的角常见的互余的角：与；与；与等常见的互补的角：与；与等【小试牛刀】若0,0,cos,cos,则cos等于()A. B C. D【解析】coscoscoscossinsin,0,sin.又0,则,sin.故cos

3、.【答案】C二、函数变换,乃是重点三角函数作为一类特殊的函数,其六种三角函数(当今教材要求重点掌握正弦函数、余弦函数、正切函数)之间有着密切的联系,因此,充分注意函数之间的关系,是三角函数变形的另一个重点.【例2】【2017天津六校高三上学期期中联考】若,则 【分析】先统一函数名称,化弦为切,再利用两角和的正切公式求值.【点评】(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化,利用tan可以实现角的弦切互化(2)形如asinbcos和asin2bsincosccos2的式子分别称为关于sin,cos的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos或co

4、s2)求解如果分母为1,可考虑将1写成sin2cos2.(3)已知tanm的条件下,求解关于sin,cos的齐次式问题,必须注意以下几点：一定是关于sin,cos的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式因为cos0,所以可以用cosn(nN*)除之,这样可以将被求式化为关于tan的表示式,可整体代入tanm的值,从而完成被求式的求值运算注意1sin2cos2的运用【小试牛刀】设且则( )A. B.C. D.【解析】由,又,故,即.【答案】C三、常数化角,曲径通幽三角公式中有不少常数,如1、等,在三角变换中,若能巧妙利用它们与三角函数式或函数值之间的关系进行转换,往往可以起到意想不到的效果.【例3

5、】【2017四川省资阳市高三上学期第一次诊断考试】函数的图象的一条对称轴方程为（ ）A B C D 【分析】先用辅助角公式对所给函数进行变换：=.【答案】B【点评】常数的变换在辅助角公式中最常见,其他地方的常数变换相对更隐蔽,要细心观察表达式的特征,从中寻找蛛丝马迹.【小试牛刀】【2016届山东师大附中高三上学期二模】若,且（ ）A B C D【答案】B【解析】因为,所以,即所以四、降幂化一,热点不断三角公式中,一次关系式较多,特别是同角关系式,以及化一公式等等,因此在观察函数关系式时,注意其次数的特征,将高次化为一次,也是解决问题的重要途径.【例4】【2016届辽宁省葫芦岛市一中高三上学期期

6、中】已知函数（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）求函数单调递增区间 【分析】三角函数问题,一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数,然后利用正弦函数（或余弦函数）的性质得出结论【解析】（1）函数的最小正周期为 ,函数的最大值为（2）由 得 函数的单调递增区间为【点评】在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时,常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法,达到由不统一转化到统一,消除差异的目的总之,三角恒等变换说到底就是“四变”,即变角、变名、变式、变幂通过对角的分拆,达到使角相同；通过转换函数,达到同名(最好使式中只含一个函数名)；通过对式子变形,达

7、到化简(尽可能整式化、低次化、有理化)；通过幂的升降,达到幂的统一R、kN等.【小试牛刀】已知函数f(x)2cos2xsin2x1(xR)(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)若x,求f(x)的值域 (3)x,2xsin(2x)f(x)五、和差倍分,注意结构三角变换中,函数表达式结构上的变换也要充分注意,结构式的差异往往隐藏着对条件和结论的联系.【例5】已知. (1)求的值； (2)求的值【分析】先化简表达式,利用商数关系得到,再利用倍角公式展开,将代入到化简的式子中计算即可；第二问,利用第一问的结论,将所求表达式化简,利用倍角公式、两角和的余弦公式,化简表达式,

8、再利用齐次式化成关于的式子,将第一问的结论代入得到所求式子的值.【解析】(1) ,则 , (2) 原式 【点评】本题需要从多角度分析,一是角的倍分关系,二是函数的同角变换,最后再利用和差角、齐次式等思想方法,方能正确求解.【小试牛刀】【2017江西省抚州市七校2高三上学期联考】若,则（ ）A B C D【答案】D六、公式变用,柳暗花明三角函数有众多的公式,我们不仅要会使用公式,还要会使用其变形的等价形式.如cos,tantantan()(1tantan)等.【例7】的值为( )A. B. C. D.【分析】本题是非特殊角求值问题,首先应从105060入手,然后注意表达式特征,其中的tan10t

9、an50和tan10tan50在正切的和角公式中也有显现,故考虑正切和角公式的变形.【解析】由变形,故【答案】B.【点评】三角公式是恒等式(当等式两边都有意义时),所以,我们不仅要记住公式的原型,还要会逆用公式,或者变形使用,这需要考生对公式各部分的结构特征都要十分熟悉,才能对公式的变形使用驾轻就熟.总体来说,在三角函数的变换中,各种变换都是穿插进行的,许多时候需要多方位思考,不能拘泥于某一种思维方式,这样才有利于打开思维的空间,找到更加合适的解题方法【小试牛刀】【2017江西九江月考】的值是 （ ）A1 B C2 D 【答案】C【解析】=,故选C迁移运用1.【2017河北唐山高三年级期末】已

10、知,则（ ）A B C. D【答案】D【解析】因为,所以,故选D2.设、都是锐角,且cos,sin(),则cos等于()A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】依题意得sin,cos().又,均为锐角,所以0cos()因为,所以cos().于是coscoscos()cossin()sin.3.【2017山东省枣庄高三上学期期末】已知,则的值是（ ） A B C. D 【答案】C【解析】,又,所以,所以,故选C4.【2016届河北省正定中学高三上学期期中】已知,则的值是A B C D【答案】D5【2016届福建省师大附中高三上学期期中】若,则的值为（ ）A B C D【答案】C【解析】因为,

11、所以,故选C6.coscoscos等于()A B C. D. 【答案】A【解析】原式coscoscos(3).7已知,那么等于（ ）A B C D【答案】C【解析】8.已知,则A. B. C. D.【答案】C9.4cos 50tan 40()A. B. C. D21【答案】C【解析】4cos 50tan 404cos 5010.【2017河南省天一大联考】已知,则 【答案】【解析】因为,所以,故答案为. 11.【2017山东潍坊高三上学期期中联考】已知,则 【答案】12. 【2017山东省枣庄高三上学期期末】函数的减区间是 【答案】【解析】,由,得,所以函数的减区间是13【2017黑龙江省牡丹江市一中高三上学期期中】已知,则 【答案】【解析】14.【2017山西省孝义高三上学期二轮模考】已知,求下列各式的值.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）,即,则原式.（2）,即,原式.15.【2017河南省天一大联考】已知函数（1）求函数的最小正周期与单调递增区间；（2）若时,函数的最大值为0,求实数的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）,则函数的最小正周期,根据,得,所以函数的单调递增区间为,（2）因为,所以,则当,时,函数取得最大值0,即,解得考点：1、三角函数值的周期性及单调性；2、三角函数在闭区间上的最值.16. 【2017四川省资阳高三上学期第一次诊断考试】已