创新方案浙江新高考数学理二轮专题突破练习212数形结合思想含答案详析Word文档下载推荐.docx

1、0且bca中的a、b、c与三角形的三边沟通；将有序实数对（或复数）和点沟通；将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）另外，函数的图像也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相互渗透，演绎出解题捷径角度一利用数形结合讨论方程的解或图像的交点例1（2013长沙模拟）若f（x）1，当x0,1时，f（x）x，若在区间（1,1内g（x）f（x）mxm有两个零点，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D. 思维流程解析当x（1,0时，x1（0,1，当x（0,1时，f（x）x，f（x1）

2、x1.而由f（x）1，可得f（x）11（x（1,0）如图所示，作出函数f（x）在区间（1,1内的图像，而函数g（x）零点的个数即为函数f（x）与ymxm图像交点的个数，显然函数ymxm的图像为经过点P（1,0），斜率为m的直线如图所示，f（1）1，故B（1,1）直线PB的斜率k1；直线PO的斜率为k20.由图可知，函数f（x）与ymxm的图像有两个交点，则直线ymxm的斜率k2mk1，即m.答案D规律总结利用数形结合求方程解应注意两点（1）讨论方程的解（或函数的零点）可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解（2）正确作

3、出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合1若定义在R上的函数f（x）满足f（x2）f（x），且x1,1时，f（x）1x2，函数g（x）则函数h（x）f（x）g（x）在区间5,5内零点的个数是（）A5 B7C8 D10解析：选C依题意得，函数f（x）是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数yf（x）与函数yg（x）的图像，结合图像得，当x5,5时，它们的图像的公共点共有8个，即函数h（x）f（x）g（x）在区间5,5内的零点的个数是8.角度二利用数形结合解不等式或求参数例2（1）使log2（x）x1成立的x的取值范围是_（2）若不等式|x2a|x

4、a1对xR恒成立，则a的取值范围是_解析（1）在同一坐标系中，分别作出ylog2（x），yx1的图像，由图可知，x的取值范围是（1,0）（2）作出y|x2a|和yxa1的简图，依题意知应有2a22a，故a答案（1）（1,0）（2） 规律总结利用数形结合解不等式应注意的问题解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决2当x（1,2）时，不等式（x1）2logax恒成立，则a的取值范围为（）A（2,3 B4，）C（1,2 D2,4）选C设y1（x1）2，y2logax，则y1的图像为如图所示的抛物线要

5、使对一切x（1,2），y11，并且只需当x2时，logax1，即a2，所以1a2.角度三利用数形结合求最值例3（1）如果实数x，y满足（x2）2y23，则的最大值为（） B. C. （2）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（ac）（bc）0，则|c|的最大值是（）A1 B2解析（1）（x2）2y23表示坐标平面上的一个圆，圆心为M（2,0），半径r，如图，而表示圆上的点（x，y）与原点O（0,0）连线的斜率该问题转化为如下几何问题：点A在M（2,0）为圆心，为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值由图可知，当点A在第一象限，且OA与圆相切时OA的斜率最大连接AM，则AMO

6、A，|OA|1，可得的最大值为tan AOM，故选D.（2）因为（ac）（bc）0，所以（ac）（bc）如图所示，设c，a，b，ac，bc，即，又，所以O，A，C，B四点共圆当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为答案（1）D（2）C利用数形结合求最值的方法步骤第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义第二步：转化为几何问题第三步：解决几何问题第四步：回归代数问题第五步：回顾反思应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：（1）比值可考虑直线的斜率；（2）二元一次式可考虑直线的截距；（3）根式分式可考

7、虑点到直线的距离；（4）根式可考虑两点间的距离3对于任意xR，函数f（x）表示x3， x，x24x3中的较大者，则f（x）的最小值是（）A2 B3C8 D1选A分别画出yx3，yx，yx24x3三个函数的图像，如图所示，得到三个交点A（0,3），B（1,2），C（5,8）函数f（x）的表达式为f（x）f（x）的图像是图中的实线部分，图像的最低点是B（1,2），所以函数f（x）的最小值是2.4当0x，函数f（x）的最小值为（）A4 B2C4 D2选Df（x），它表示点（0,3）与点（sin 2x，cos 2x）连线的斜率，而点（sin 2x，cos 2x）在x时是圆x2y21的左半圆（不含端点）

8、，数形结合可知当过（0,3）的直线与该半圆相切时，斜率最小，即f（x）最小设切线方程为ykx3，则1k2或k2 （舍），故f（x）的最小值为21应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化（1）集合的运算及韦恩图；（2）函数及其图像；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图像；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；（5）对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；（6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图像求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用2运用数形结合的思想分析解决问题时，应把握以下三个原则（1）等价性原则在数形结合时，代数性质和

9、几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导（2）双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化（3）简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简

10、单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题运用代数方法数学思想专练（二）一、选择题1不等式x2logax0，在x时恒成立，则a的取值范围是（）A0a1 D0a选B不等式x2logax0转化为x2logax，由图形知01且2loga，所以a，所以a1.2（2013西城模拟）已知f（x）则函数g（x）f（x）ex的零点个数为（）C3 D4选B函数g（x）f（x）ex的零点即为函数f（x）与yex的图像交点的个数，如图所示，作出函数f（x）与yex的图像，由图像可知两个函数图像有两个交点，函数g（x）f（x）ex有两个零点3已知函数f（x）则函数yf（f（x）1的零点个数是（）A4 B3C2 D1选A令x10，得x1，令log2x0，得x1；令F（x）f（f（x）1，则F（x）作出函数yF（x）的图像如图所示，有4个零点4已知平面向量a、b，|a|1，|b|，且|2ab|，则向量a与向量ab的夹角为（） B. D选B|2ab|24|a|24ab|b|27，|a|1，|b|44ab37，即ab0，ab.