高中数学《空间向量》解答题专项练习含答案详解文档格式.docx

1、（1）证明：平面CAE平面ADF；（2）求点D到平面AEF的距离.如图，在几何体ABCDEF中，ABCD，AD=DC=CB=1，ABC=60，四边形ACFE为矩形，FB=，M，N分别为EF，AB的中点MN平面FCB；（2）若直线AF与平面FCB所成的角为30，求平面MAB与平面FCB所成角的余弦值如图所示，四边形ABCD为直角梯形，ABCD，ABBC，ABE为等边三角形，且平面ABCD平面ABE，AB=2CD=2BC=2，P为CE中点.ABDE.（2）求平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值.已知：在ABCD中，DAB=45，AB=2，AD=2，平面AED平面ABCD，AED为等边三角形

2、，EFAB，EF=，M为线段BC的中点.直线MF平面BED.（2）求平面BED与平面FBC所成角的正弦值.如图（1）所示，在RtABC中，C=90，BC=3，AC=6，D，E分别为AC，AB上的点，且DEBC，DE=2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图（2）所示.A1C平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由.答案解析证明：如图，建立空间直角坐标系，则A（0,0,0），B（2,0,0），C（0,2,0），A1（0,0，），C1（0,1，），D为BC的中点，D点坐标为

3、（1,1,0）.=（0,0，），=（1,1,0），=（2,2,0），=（0，1，）.设平面A1AD的法向量n1=（x1，y1，z1），平面BCC1B1的法向量为n2=（x2，y2，z2）.由得令y1=1，则x1=1，z1=0，n1=（1，1,0）.令y2=1，则x2=1，z2=，n2=.n1n2=110=0，n1n2.平面A1AD平面BCC1B1.解：（1）ABC=ABE=90，ABBC，ABBE.又BC，BE平面BCE，且交于点B，AB平面BCE.又CE平面BCE，ABCE.又ABCD，CEDF，CDDF.又平面ABCD平面DCEF，且交于CD，DF平面DCEF，DF平面ABCD.又DF平面

4、ADF，平面ADF平面ABCD.（2）CEDF，BFD为异面直线BF与CE所成的角，则BFD=45.在RtBDF中，BFD=DBF=45，DF=BD=2.ABD是边长为2的等边三角形，ABC=90在RtBCD中，CBD=30，CD=1，BC=.CEDF，DF平面BDF，CE平面BDF，CE平面BDF，点C到平面BDF的距离即为点E到平面BDF的距离.由（1）可知DF平面ABCD，则DF为三棱锥FBCD的高.设点E到平面BDF的距离为h，由VEBDF=VCBDF=VFBCD，得SBDFh=SBCDDF，h=.连接BD，设AC交BD于点O，则ACBD.连接SO，由题意知SO平面ABCD.以O为坐标

5、原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图.设底面边长为a，则高SO=a，于是S，D，B，C，=，=，则=0.故OCSD.从而ACSD.（2）棱SC上存在一点E，使BE平面PAC.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且=，=，=.设=t，则=t=，而=0t=.即当SEEC=21时，.而BE平面PAC，故BE平面PAC.（1）ABC是等边三角形，D为BC的中点，ADBC，AD平面BCC1B1，得ADCE.在侧面BCC1B1中，tanCFD=，tanBCE=，tanCFD=tanBCE，CFD=BCE，BCEFDC=CFDFDC=90，CEDF.又ADDF=D，CE

6、平面ADF.又CE平面CAE，平面CAE平面ADF.（2）在FDE中，易得FD=FE=，DE=，SFDE=.在EFA中，易得EA=EF=，AF=2 ，SEFA=2 设三棱锥DAEF的体积为V，点D到平面AEF的距离为h.则V=SFDEAD=SEFAh，得=h，解得h=.取BC的中点Q，连接NQ，FQ，则NQ=AC，NQAC.又MF=AC，MFAC，所以MF=NQ，MFNQ，则四边形MNQF为平行四边形，即MNFQ.因为FQ平面FCB，MN平面FCB，所以MN平面FCB.（2）由ABCD，AD=DC=CB=1，ABC=60可得ACB=90，AC=，BC=1，AB=2.因为四边形ACFE为矩形，所

7、以AC平面FCB，则AFC为直线AF与平面FCB所成的角，即AFC=30，所以FC=3.因为FB=，所以FCBC，则可建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，所以A（，0，0），B（0，1，0），M（,0,3），=（,0,-3），=（- ,1,-3）.设m=（x，y，z）为平面MAB的法向量，则即取x=2，则m=（2，6，1）为平面MAB的一个法向量又n=（，0，0）为平面FCB的一个法向量，所以cosm，n=.则平面MAB与平面FCB所成角的余弦值为.取AB的中点O，连接OD，OE，因为ABE是等边三角形，所以ABOE，因为CDOB，CD=AB=OB，BC=CD，BCAB，所以四边形OBCD是

8、正方形，所以ABOD，又OD平面ODE，OE平面ODE，ODOE=O，所以AB平面ODE，又DE平面ODE，所以ABDE.（2）因为平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABE=AB，OD平面ABCD，ODAB，所以OD平面ABE，以O为原点，以OA，OE，OD为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（1，0，0），B（1，0，0），D（0，0，1），E（0，0），C（1，0，1），所以=（1，0，1），=（1，0），=（0，0，1），=（1，0），设平面ADE的法向量为m=（x，y，z），则即令y=1，得m=（，1，），同理可得平面BCE的法向量为n=（，1，0），所以平面ADE与平面B

9、CE所成的锐二面角的余弦值为.取BD的中点G，连接MG，EG，因为M为线段BC的中点，G是BD的中点，所以MGCD，又CDAB，EFAB，所以EFGM，所以四边形EFMG是平行四边形，所以MFEG，又MF平面BED，EG平面BED，所以MF平面BED.（2）过点E作EOAD，垂足为O，则O为AD的中点，因为平面AED平面ABCD，平面AED平面ABCD=AD，OE平面EAD，所以OE平面ABCD，所以OEAB，过O作ONAB，垂足为N，则ONOM，以O为原点，以ON，OM，OE所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示则E（0，0，），M（0，2，0），G（0，0），B（，0），F（0，），

10、所以=，=（0，），=，=（0，）.设平面BDE的法向量为m=（x1，y1，z1），平面BCF的法向量为n=（x2，y2，z2），则所以令y1=y2=得m=（，），n=（，），所以cosm，n=，设平面BED与平面FBC所成角为，则|cos |=，所以sin = =，所以平面BED与平面FBC所成角的正弦值为.（1）因为ACBC，DEBC，所以DEAC，所以DEA1D，DECD，A1DDC=D，所以DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为A1CCD，DECD=D，所以A1C平面BCDE.（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则A1（0,0,2），D（0,2,0），M（0,1，），

11、B（3,0,0），E（2,2,0）.设平面A1BE的法向量为n=（x，y，z），则n=0，n=0.又因为=（3,0，2），=（1,2,0），所以令y=1，则x=2，z=，所以n=（2,1，）.设CM与平面A1BE所成的角为.因为=（0,1，），所以sin=|cosn，|=.所以CM与平面A1BE所成角的大小为.（3）线段BC上不存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直.理由如下：假设这样的点P存在，设其坐标为（p,0,0），其中p0,3.设平面A1DP的法向量为m=（x1，y1，z1），则m=0，m=0，=（0,2，2），=（p，2,0），z1=y1，x1=y1.设y1=6，则m=（3p,6,2），平面A1DP与平面A1BE垂直，则mn=0，6p66=0，p=2，0p3，线段BC上不存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直.