1、()描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法:例:不是直角三角形的三角形数学式子描述法:不等式x-32的解集是xR| x-32或x| x-32(3)图示法(文氏图):4、常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R5、“属于”的概念集合的元素通常用小写的英文字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 aA ,相反,a不属于集合A 记作 aA6、集合的分类:1有限集 含有有限个元素的集合2无限集 含有无限个元素的集合3空集 不含任何元
2、素的集合二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说两集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作AB注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B集合A中有n个元素,则集合A子集个数为2n.2“相等”关系(55,且55,则5=5)实例:设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B 任何一个
3、集合是它本身的子集。真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB 同时 BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB(读作”A交B”),即AB=x|xA,且xB2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:AB(读作”A并B”),即AB=x|xA,或xB3、交集与并集的性质:AA = A,A= , AB =
4、BA,AA = A,A= A , AB = BA.4、全集与补集(1)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。(2)补集:设U是一个集合,A是U的一个子集(即AU),由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫做U中子集A的补集(或余集)。 CUA ,即 CUA =x | xU且 xA(3)性质:CU(C UA)=A (C UA)A= (C UA)A=U二、函数的有关概念1函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B
5、的一个函数记作: y=f(x),xA其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域1、如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而
6、成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零,底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)2、构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的,两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法:定义域一致;表达式相同 (两点必须同时具备)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指
7、数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法:A、描点法:根据函数解析式
8、和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法:常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换、对称变换:(1)将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=f(x)的图象如:书上P21例5 (2) y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。如(3) y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x轴对称。、平移变换: 由f(x)得到f(xa) 左加右减; 由f(x)得到f(x) a 上加下减4区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示
9、5映射说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,集合A、B及对应法则f是确定的;对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;对于映射f:AB来说,则应满足:()集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;()集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;()不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6、函数的表示法:常用的函数表示法及各自的优点1 解析法:必须注明函数的定义域;2 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;3列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征解析法:便
10、于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值补充一:分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况注意:(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集补充二:复合函数如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x),(xA) 称为f是g的复合函数。7函数单调性(1)增函数设函数y=f(x)的定
11、义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间;如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2 时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1x2时,总有f(x1)f(x2) (或f(x1)f(x2)。(2) 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说
12、函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法:1 任取x1,x2D,且x1x2;2 作差f(x1)f(x2);3 变形(通常是因式分解和配方);4 定号(即判断差f(x1)f(x2)的正负);5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)u=g(x) y=f(u)y=fg(x)增减(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性:复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:复合函数单调性:口诀:同增异减
13、1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8函数的奇偶性(1)偶函数一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数(2)奇函数一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函数1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。2、 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称函数
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