届山西省忻州一中等四校高三第四次联考理科数学试Word下载.docx

1、 A. B. 9. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱长中 长度最长的是10. 设椭圆的左右焦点分别为，点， 设直线与椭圆交于M、N两点，若=16，则椭圆的方程为11. 已知定义在上的函数满足，当时， ，设在上的最大值为,且的前项和为，则=12. 设函数，若存在, ,使得成立（其中为自然对数的底数），则正实数的取值范围是A . B . C . D. 第卷（非选择题 90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上）13.的展开式中的系数是 .14. 已知实数x，y满足，则目标函数的最大值为 . 15. 已知M为线段BC上一点，且, 则的最大值为 .

2、16. 在中，角的对边分别为， ， 则的最小值为 .三、解答题（本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上） 17.（本题满分12分） 已知等差数列的公差，；等比数列满足：， （1）求数列和的通项公式； （2）设的前项和为，令，求.18.（本题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，且分别是的中点（1）求证：平面；（2）求锐二面角的余弦值. 19.（本题满分12分）某工厂生产某种零件，每天生产成本为1000元，此零件每天的批发价和产量均具有随机性，且互不影响.其具体情况如下表：日产量400500批发价810概 率0.40.60

3、.5（1）设随机变量X表示生产这种零件的日利润，求X的分布列及期望； （2）若该厂连续3天按此情况生产和销售，设随机变量Y表示这3天中利润不少于3000的天数，求Y的数学期望和方差，并求至少有2天利润不少于3000的概率. （注：以上计算所得概率值用小数表示）20. （本题满分12分）已知抛物线，过焦点且斜率为1的直线交抛物线C于两点，以线段为直径的圆在轴上截得的弦长为.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线交抛物线C于F、G两点，交轴于点D，设试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.21. （本题满分12分）已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）当时，若对任意实数，当时，函数的

4、最小值为，求实数a的取值范围.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑22. （本小题满分10分）选修41：几何证明选讲 如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点BC，的平分线分别交ABAC于点DE（1）证明：.（2）若AC=AP,求的值. 23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，直线的参数方程为.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的直角坐标方程和直线的极坐标方程；（2）若为曲线C上的动

5、点，求点P到直线的距离d的最大值和最小值.24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知关于的不等式的解集是（1）求的值；（2）若均为正实数，且，求的最小值.数学试题答案（理）A卷一、选择题 1-5: DDCAC 6-10: CBADB 11-12: BA二、填空题:13-20 149 15 16 17解：（1）公差， 2分 4分 设等比数列的公比为 即 即 6分（2）由 得： 即 8分= 10分 = = 12分18.（1）连结，是等腰直角三角形斜边的中点，.又三棱柱为直三棱柱，面面，面，. 2分设，则.，. 4分又，平面. 6分（2）以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系如图，设，则，.

6、8分由（）知，平面，可取平面的法向量.设平面的法向量为，由可取. 10分设锐二面角的大小为，则所求锐二面角的余弦值为. 12分19解：（1）50010-1000=4000,40010-1000=5008-1000=3000，4008-1000=2200随机变量X可以取：4000,3000.，2200 1分 P（X=4000）=0.60.5=0.3 P（X=2200）=0.40.5=0.2 P（X=3000）=0.60.5+0.40.5=0.5 4分X400030002200P0.30.2 X的分布列为: EX=40000.3+30000.5+22000.2=3140 6分（2） 由（1）知：该

7、厂生产1天利润不少于3000的概率为：P=0.8 8分EY=3=2.4 DY=30.80.2=0.48 10分至少有2天利润不少于3000的概率为： 12分20.解：（1）由已知:直线的方程为，代入得： 设， 则 且线段的中点为， 3分由已知，解得或（舍去）所以抛物线的方程为： 6分（2）设直线：y=kx+2（k0），则，与联立得由得,设则 8分所以 10分则将代入上式得即为定值 12分21.解：（1）由已知，则 1分所以当和时，单调递减；当时，单调递增； 2分所以当时，有极小值为，当时，有极大值为. 4分（2）由已知.当时， ，于是和时，单调递减；时，单调递增；又因为，要对任意实数，当时，函

8、数的最小值为，只需要，即，解得，因为所以 7分当时，在上，恒有，且仅有，故在上单调递减.显然成立. 8分当时， ，于是和时，单调递减；要对任意实数，当时，函数的最小值为，只需要，即 10分令，所以在上单调递减，所以此时综上所述：22解：（1） PA是切线，AB是弦， BAP=C， 2分又 APD=CPE, BAP+APD=C+CPE, ADE=BAP+APD, AED=C+CPE, ADE=AED 5分（2）由（1）知BAP=C, 又 APC=BPA, APCBPA, , 7分 AC=AP, APC=C=BAP,由三角形内角和定理可知，APC+C+CAP=180, BC是圆O的直径， BAC=90, APC+C+BAP=180-90=90 C=APC=BAP=90=30 在RtABC中， =, = 10分23解：（1）曲线C的直角坐标方程为 2分 直线的直角坐标方程为4x-3y+12=0则其极坐标方程为 5分（2） 所以最大值为，最小值为。 10分24解：（1）不等式可化为 1分所以，即 2分又因为原不等式解集为，所以，解得. 5分（2）由（1）可知（方法一：利用基本不等式）因为，所以 8分所以当且仅当时，的最小值是. 10分 （方法二：利用柯西不等式）因为，所以10分（方法三：消元法求二次函数的最值）因为，所以，8分所以当且仅当时，的最小值是. 10分