排列组合基本知识Word文件下载.docx

1、从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法 （2）排列数公式：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列 ,当mn时，为全排列Pnn=n（n1）（n1）321n！ （三）组合和组合数 （1）组合：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合 从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合 （2）组合数：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个 这里要

2、注意排列和组合的区别和联系，从n个不同元素中，任取m（mn）个元素，“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 （1）从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力（2）限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解；（3）计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；（4）计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。二、两个基本计数原理及应用 （1）加法原理和分类计数法 1加法原理

3、2加法原理的集合形式 3分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏） （2）乘法原理和分步计数法 1乘法原理 2合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例题分析排列组合思维方法选讲1首先明确任务的意义 例1. 从1、2、3、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有_个。分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排

4、列组合问题。设a,b,c成等差， 2b=a+c, 可知b由a,c决定， 又 2b是偶数， a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，19或2，4，6，8，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?对实际背景的分析可以逐层深入 （一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是

5、向上走，就可以确定走法数， 本题答案为：=56。2注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合 例3在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有_种。条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。第一类：A在第一垄，B有3种选择；第二类：A在第二垄，B有2种选择；第三类：A在第三垄，B有一种选择， 同理A、B位置互换 ，共12种。例4从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有_。（A）240 （B

6、）180 （C）120 （D）60 显然本题应分步解决。（一）从6双中选出一双同色的手套，有种方法；（二）从剩下的十只手套中任选一只，有种方法。（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有种方法；（四）由于选取与顺序无关，因而（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。例5身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_。每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有=90种。例6在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。

7、现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。这两个人都去当钳工，有种；这两人有一个去当钳工，有种；这两人都不去当钳工，有种。因而共有185种。例7现有印着0，l，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?有同学认为只要把0，l，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。抽出的三数含0，含9，有种方法；抽出的三数含0不含9，

8、有种方法；抽出的三数含9不含0，有种方法；抽出的三数不含9也不含0，有种方法。又因为数字9可以当6用，因此共有2（+）+=144种方法。例8停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是_种。把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有种停车方法。3特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑 例9六人站成一排，求 （1）甲不在排头，乙不在排尾的排列数 （2）甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数 （1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。乙在排头，有种站法。乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法， 共+种站法。（2）第一类

9、：甲在排尾，乙在排头，有种方法。甲在排尾，乙不在排头，有种方法。乙在排头，甲不在排头，有种方法。第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法。共+2+=312种。例10对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。第一步：第五次测试的有种可能；第二步：前四次有一件正品有中可能。第三步：前四次有种可能。 共有种可能。4捆绑与插空 例11. 8人排成一队 （1）甲乙必须相邻 （2）甲乙不相邻 （3）甲乙必须相

10、邻且与丙不相邻 （4）甲乙必须相邻，丙丁必须相邻 （5）甲乙不相邻，丙丁不相邻 （1）有种方法。（2）有种方法。（3）有种方法。（4）有种方法。（5）本题不能用插空法，不能连续进行插空。用间接解法：全排列-甲乙相邻-丙丁相邻+甲乙相邻且丙丁相邻，共-+=23040种方法。例12. 某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况? 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即。例13. 马路上有编号为l，2，3，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不

11、能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。 共=20种方法。5间接计数法.（1）排除法 例14. 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数， 共种。例15正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数， 共-12=70-12=58个。例16. l，2，3

12、，9中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数?由于底数不能为1。（1）当1选上时，1必为真数， 有一种情况。（2）当不选1时，从2-9中任取两个分别作为底数，真数，共，其中log24=log39，log42=log93, log23=log49, log32=log94. 因而一共有53个。（3）补上一个阶段，转化为熟悉的问题 例17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，（不一定相邻），共有多少种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?（一）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。因而有=360种。（二）先考虑六人全排列；其次甲乙丙三人实

13、际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复了种， 共=120种。例185男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法?首先不考虑男生的站位要求，共种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了次。因而有=9876=3024种。若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法， 同理也有3024种，综上，有6048种。例19. 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法?先认为三个红球互不相同，共种方法。而由于三个红球所占位置相同的情况下，共有变化，因而共=20种。6挡板的使用 例2010个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?把10个名额看成十个元素，在这