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1、（B）无界函数与无穷小的乘积必为无穷小；（C）有界函数与无穷大之和必为无穷大；（D）无界函数与无界函数的乘积必无解；（6）设线性无关的函数 都是二阶线性非齐次方程 的解，为任意常数，则该方程的通解是（）（A）；（7）设 是 阶矩阵，齐次线性方程组（I）有非零解，则非齐次线性方程组（II），对任何（A）不可能有唯一解；（B）必有无穷多解；（C）无解；（D）可能有唯一解，也可能有无穷多解（8）设 均是 阶可逆矩阵，则行列式 的值为（A）；（D）二、填空题：914小题，每小题 4分，共 24 分。把答案填在题中的横线上。（9）已知，则 。（10）方程 满足 的特解为。（11）。其中 为。（12）设

2、有一个原函数为，则 。（13）若，则=。（14）设 是三阶矩阵，已知，与 相似，则 的相似对角形为。三、解答题 1523小题，共 94 分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。（15）（本题满分 10 分）求。（16）（本题满分 10 分）计算。（17）（本题满分 10 分）设 在 连续，且，。证明：至少，使得。（18）（本题满分 10 分）设函数 由方程 所确定，其中 有一阶连续偏导数，求。（19）（本题满分 10 分）一个瓷质容器，内壁和外壁的形状分别为抛物线 和 绕 轴的旋转面，容器的外高为 10，比重为。把它铅直地浮在水中，再注入比重为 3的溶液。问欲保持容器不沉没，注入液体的最大深

3、度是多少？（长度单位为厘米）（20）（本题满分 11 分）设，其中 在 处二阶可导，且。（I）、为何值时 在 处连续？（II）、为何值时 在 处可导？（21）（本题满分 11 分）过椭圆 上任一点作椭圆的切线，试求诸切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。（22）（本题满分 11 分）设 是实矩阵。（I）与 是同解方程组；（II）秩=秩（23）（本题满分 11 分）设 为三阶方阵，为三维线性无关列向量组，且有，。求（I）求 的全部特征值。（II）是否可以对角化？考研数学二模拟题参考答案 二、选择题：（1）C 解：由 所以 由 。故 C成立。（2）B 解：由于函数可导（除）且取得两个极值，故函

4、数有两个驻点，即导函数图像与 轴有且仅有两个交点，故 A，C不正确。又由函数图像，极大值应小于极小值点，故 D不正确。（3）B 解：设，则（4）A 解：，因，则 ，故。而 ，故，所以【也可以用泰勒公式计算】（5）C 设 在 内有界，即；，即，使当 时，。则，即对，当 时，故（6）D 由 都是已知方程的线性无关的解知 是二阶线性齐次方程 的通解；根据二阶线性方程通解的结构定理知，该方程的通解为（7）A 解：有非零解，充要条件是，由此即可找到答案。（8）D 解：=二、填空题：（9）应填。解：由，得 （10）应填 解：令 ，原方程变为 方程两边对 求导得 再两边对 求导得，即 由 得，故（11）应填

5、 （12）应填 解：由 其中 利用分部积分法，有 故 故 原式（13）应填 解：由于 所以（14）应填【形式不唯一，只要是对角线上为-1，-2，-3就对】解：由，知 的特征值为，相似矩阵具有相同的特征值，所以 的特征值也为，故 相似的标准形为 三、解答题 1523小题，共 94 分。（15）（本题满分 10 分）解：由 所以 （16）（本题满分 10 分）解：本题积分区域利用极坐标表示 原式 （17）（本题满分 10 分）证明：作函数，有 。所以由积分中值定理，存在，使 即。又，所以，由极限的保号性，存在，使，即。因此，由介值定理，至少存在一个，使，即。（18）（本题满分 10 分）解：设 ，

6、则 解得：解得：所以=0（19）（本题满分 10 分）解：设容器体积为，容器的容积即由抛物线 在 上绕 轴旋转所得立体的体积，则 ，所以，容器重量为 设注入液体的最大深度为，则注入液体的重量为 若液体和容器形成一体的比重为 1，则可保持其在水中不沉没 所以，由，可得，（20）解：（I）若要 在 处连续，必须，即 故，为任意实数时，在 处连续。（II）若要 在 处可导，则必须 在 处连续（），且 所以 所以，时，在 处可导（21）（本题满分 10 分）解：设 为所给椭圆上任一点，则可求得在 处的切线方程为 它与两坐标轴的交点为 和。所以切线与坐标轴围成的三角形面积为 则只须求 在条件 下的极值即可。设 由 解得 或。由此分别求的 或 所以诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为（22）（本题满分 11 分）证明：若 是 的解，显然 是 的解；反之，设 是 的解，则 。即，从而 ，于是，即 是 的解。与 是同解方程组（II）既然 与 是同解方程组，两者的解空间维数相同，从而推知秩=秩（23）（本题满分 11 分）解：（I）由已知得，又因为 线性无关，所以，所以,2是 的特征值，是相对应的特征向量。又由 线性无关，得，也线性无关，所以 是矩阵 的二重特征值，即 得全部特征值为,2（II）由 线性无关，可以证明，也线性无关，即 有三个线性无关的特征向量，所以，矩阵 可相似对角化。