角平分线与角的对称性Word文档格式.docx

1、当角平分线构成的等量关系和“等腰三角形”结合的时候,可以利用等腰三角形“三线合一”.（二）例题例1 已知:如图1,在ABC中, AB=AC, A=100,BD为B的平分线,图1求证:BC=BD+AD 设计思路:这道题要利用角平分线构造轴对称图形,截长补短是常用辅助线,可以借助这道题感受作辅助线的意义.分析:容易想到在BC上截BE,使BE=BD,再来证明AD=EC由已知可得DBC=20 , DCE=40 ,连结DE,那么DEB = （180- 20） 2= 80,得DE=EC.只需证明DE=AD.观察图形,可以在BC上截BF=BA,便构造出BDF与BDA全等,得DF =AD,接下来再证明DF =

2、DE 即可.证明:在BC上取E、F ,使BE = BD , BF = BA,连结DF、DE. 在ABC中, AB=AC, A=100,ABC =C = （180- 100）2=40.BD平分ABC , ABD =FBD=20, 又BD=BD , BA= BF, ABDFBD.DF = AD, BFD =BAD =100 . DFE = 180 = 80BD=BE,DEF = （180 2= 80DFE =DEF. DE = DF = AD. 在DEC中, EDC = 80- 40 = 40EDC =C. DE=EC, AD=EC. BC=BE+EC=BD+AD.点拨:这道题需要利用割补法,构造

3、另一个三角形与之全等,再利用全等三角形对应元素相等的性质,证得命题成立. 例2 如图1,在ABC中, AD是BAC的平分线,从ABC两顶点B、C分别向BAC的平分线作垂线BE和CF,垂足分别是E、F ,又BC的中点为P . PEF =PFE.设计思路:融入角平分线和垂直共同构造轴对称图形.在这道题中,CF、BE分别是过角两边上的点向角平分线所作的垂线段,“垂直”和“角平分线”都是构造轴对称图形的基本元素.因此只要分别延长CF、延长BE都可构造轴对称图形.在得到的轴对称得到了中点,点F、E、P分别是所在线段中点,因此再用中位线即可得到平行关系,最后利用平行关系代换等角即可得证.延长CF交AB于N

4、,延长BE交AC延长线于M.AD是BAC的平分线,3=4. 在ANF和ACF中,AFCN,得AFN=AFC=90,又AF=AF,ANFACF.NF=CF,同理可得BE=ME.点P是BC中点,PF、PE分别为CNB和BCM的中位线.PFBN,即PFAB,1=3.同理,PECM,即PEAC.2=4.1=2,即PEF=PFE.观察图形中的“垂直”和“角平分线”,这些都是构造轴对称图形的基本元素,在轴对称图形中我们可以利用对应线段等、角等的关系进行等量代换. 例3 （09海淀二模）ABC是等边三角形，P为平面的一个动点，BP=BA，若PBC180，且PBC平分线上的一点D满足DB=DA，（1）当BP与

5、BA重合时（如图1），BPD= ；（2）当BP在ABC的部时（如图2），求BPD的度数；（3）当BP在ABC的外部时，请你直接写出BPD的度数，并画出相应的图形 加入旋转,使得这道题目中的对称性不是那么好找了,但如果有前面的铺垫,这道题可以很好的使学生体会角平分线的作用.分析：由于BPD并不在一个特殊三角形中，直接求它的度数是很困难的，因此想到可以转移角，它所在的BPD各个角中，只有PBD由于BD是PBC角平分线的缘故与其它角有等量关系，因此这就是这道题的突破口.当角平分线与“三角形”结合时，可以构造轴对称图形,容易想到连接CD,接下来再结合边的等量关系证明全等即可.图2-1解：（1）BPD=

6、30 . （2）如图2-1，连结CD 解法一： 点D在PBC的平分线上， 1=2 ABC是等边三角形， BA=BC=AC，ACB= 60 BP=BA， BP=BC BD= BD， PBDCBD BPD=3 DB=DA，BC=AC，CD=CD， BCDACD BPD =30解法二： ABC是等边三角形， BA =BC=AC DB=DA， CD垂直平分AB 点D在PBC的平分线上， PBD与CBD关于BD所在直线对称 （3）BPD= 30或 150 图3-2图3-1 图形见图3-1、图3-2 当我们遇到题目当中有很多等量关系的情况时,需要找到架接等量关系的桥梁,在这道题目中,有三组等量关系:关于等

7、边ABC的,关于BP=BA的,关于DA=DB的,而找到AB这座“桥”却是很重要的,它是等量代换的重要元素.另外,在第三问画图时,需要注意全面考虑点P、点D的可能性.有规律的是,点D一定在线段AB的垂直平分线上.例4 （08）正方形ABCD的边长为2，E是射线CD上的动点（不与点D重合），直线AE交直线BC于点G，BAE的平分线交射线BC于点O（1）如图1，当CE =时，求线段BG的长；（2）当点O在线段BC上时，设，BO=y，求y与x的函数解析式；（3）当CE=2ED时，求线段BO的长到了例4,构造轴对称图形已经不是难度,而需要适度提升找数量关系的难度.在这道题目中,有这样的字眼: E是“射线

8、”CD上的动点，这本身就意味着关于点E的位置是由两种可能性的,需要依题意探究位置可能性.第（1）问可以直接从CE入手,自然得到DE的长,用相似得BG长度.第（2）问中的x就比较不常规,是比值的形式,但线段量的关系一直用比表示,并不便利,因此可以将一条线段长用含x和另一条线段长的式子来表示.接下来,将BO代换到角平分线的另一边,就可以把x、y都放到一组相似三角形中去了.第（3）问显然要结合点E的位置进行讨论.（1）在边长为2的正方形中，得，又，即ADEGCE,（2）当点在线段上时，过点作 ，垂足为点为的角平分线， 在正方形在RtABG中,AB=2,BG=2+2x,B=90易证FOGBAG,得（3

9、）当时，当点上时，如图3-1,即，由（2）得当点延长线上时,如图3-2，CE=4,ED=DC =2, 在RtADE中,AE=设交线段于点是的平分线，即找到边的关系是这道题的关键,可利用的条件很多,有相似、角平分线性质、勾股定理和正方形性质,只要找到中心量，用它将需要的线段表示出来就可以了。（三）练习练习1.（09中考）如图，等腰ABC中，底边的平分线交AC于D，的平分线交BD于E，设，则（）AA B C D练习2（09）如图，在锐角的平分线交分别是和上的动点，则的最小值是_ 4练习3. 如图, AD是ABC的角平分线, EF是AD的垂直平分线,交BC的延长线于点F ,连接AF。BAF=ACF.

10、AD是ABC的角平分线,BAD=CAD.EF是AD的垂直平分线,FA=FD.FAD=FDA.又ACF=FDA+CAD,BAF=FAD+BAD,ACF=BAF.练习4.已知,如图,ABC中，ABC=3C, AE平分BAC, BEAE于E.求证：AC-AB=2BE. 延长BE交AC于点F. AE平分BAC1=2.又AEB=AEF= 90,AE=AE.ABEAFE.AB=AF, 3=4 , BE=FE.ABC=3C,又ABC=3+5=4+5=C+5+C=2C+5.3C=2C+5.C=5.BF=FC.AC- AB=AF+FC-AB=FC=BF=2BE.AC-AB= 2BE.练习5.（09宣武二模）如图

11、，在ABC中，CAB、ABC的平分线交于点D，DEAC交BC于点E，DFBC交AC于点F四边形DECF为菱形证明：证法一：连结CD. DEAC，DFBC， 四边形DECF为平行四边形.CAB、ABC的平分线交于点D,点D是ABC的心. CD平分ACB，即FCDECD，DFBC,FDCECD， FCDFDC FCFD， 平行四边形DECF为菱形证法二：过D分别作DGAB于G，DHBC于H，DIAC于IAD、BD分别平分CAB、ABC，DI=DG，DG=DHDH=DIDEAC，DFBC，四边形DECF为平行四边形，SDECF=CEDH =CFDI，CE=CF平行四边形DECF为菱形 （四）总结角平分线所在直线是角的对称轴,利用这个特点构造和利用轴对称图形是我们的常用思路,本节课通过一系列提升例题、练习题可以培养学生观察图形，构造对称的能力.（五）反思 虽然本节课列举了一些轴对称图形的构造情况以及基本方法,但仍不可能盖全,应该让学生从根本的图形关系上掌握这种构造技巧.