二元一次不等式组与简单的线性规划问题Word文档下载推荐.docx

1、满足线性约束条件的解（x，y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题常用结论与微点提醒1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：（1）直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；（2）特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取（0，1）或（1，0）来验证.2.在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b0表示的平面区域在直线xy10的下方.（4）直线axby

2、z0在y轴上的截距是.答案（1）（2）（3）（4）2.下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是（）A.（0，0） B.（1，1） C.（1，3） D.（2，3）解析把各点的坐标代入可得（1，3）不适合，故选C.答案C3.（教材习题原题）不等式组表示的平面区域是（）解析x3y60表示直线x3y60及其右下方部分，xy20表示直线xy20左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.答案B4.（2017全国卷）设x，y满足约束条件则z3x2y的最小值为_.解析不等式组表示的平面区域如图所示.由z3x2y得yx，当直线y过图中点A时，纵截距最大，此时z取最小值.由解得点A坐标为（1，1），此时z3

3、（1）215.答案55.（2018石家庄质检）若x，y满足约束条件则z的最大值为_.解析作出不等式组表示的平面区域，如图所示阴影部分，z，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知zmaxkOA，由得A，kOA3，zmax3.答案3考点一二元一次不等式（组）表示的平面区域【例1】 （1）不等式（x2y1）（xy3）0在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示），应是下列图形中的（）（2）若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）A.3 B.1 C. D.3解析（1）（x2y1）（xy3）0或画出平面区域后，只有C符合题意.（2）如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则2m2，则m

4、1，由解得即A（1m，1m）.即B，所围成的区域为ABC，则SABCSADCSBDC（22m）（1m）（22m）（1m）（1m）2解得m3（舍去）或m1.故选B.答案（1）C（2）B规律方法1.二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.2.求平面区域的面积：（1）首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；（2）对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形（如平行四边形或梯形），可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和.【训练1】 （2018郑州预测）若不等

5、式x2y22所表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为_.解析作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示，平面区域N的面积为3（62）12，区域M在区域N内的面积为（）2，故所求概率P答案考点二求目标函数的最值问题（多维探究）命题角度1求线性目标函数的最值【例21】 （2017 则zxy的最大值为（）A.0 B.1 C.2 D.3解析根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分（含边界），则当目标函数zxy经过A（3，0）时取得最大值，故zmax303，故选D.答案D命题角度2求非线性目标函数的最值【例22】 （1）若变量x，y满足

6、则x2y2的最大值是（）A.4 B.9 C.10 D.12（2）（2018湘中高三联考）已知实数x，y满足 则的最小值是_.解析（1）作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示（包括边界），x2y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方.由图易知平面区域内的点A（3，1）与原点的距离最大，所以x2y2的最大值是10，故选C.（2）作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率的倒数.由图知，直线OA的斜率最大，此时取得最小值，所以答案（1）C（2）命题角度3求参数的值或范围【例23】 （2018惠州三调）已知实数x，y满足： 若zx2y的最小值为4，则实

7、数a（）A.1 B.2 C.4 D.8解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线zx2y经过点C时，z取得最小值4，所以a24，解得a2，选B.规律方法1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离，表示点（x，y）与点（a，b）的距离；（2）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率.3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.【训练2】 （1）（2017山东卷）已知x

8、，y满足约束条件则zx2y的最大值是（）A.0 B.2 C.5 D.6新乡模拟）若实数x，y满足且zmxy（m2）的最小值为，则m等于（）A. B. C.1 D.解析（1）由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数zx2y经过点C（3，4）时取最大值zmax3245.（2）作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，zmxy（m，可知目标函数的最优解过点A，由解得A3，解得m1.答案（1）C（2）C考点三实际生活中的线性规划问题【例3】 （2016全国卷）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一

9、件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元.解析设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为目标函数z2 100x900y.作出可行域为图中的阴影部分（包括边界）内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为（60，100），（0，200），（0，0），（90，0），在（60，100）处取得最大值，zmax2 10060900100216 0

10、00（元）.答案216 000规律方法解线性规划应用问题的一般步骤：（1）分析题意，设出未知量；（2）列出线性约束条件和目标函数；（3）作出可行域并利用数形结合求解；（4）作答.【训练3】 （2018黄冈联考）一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时.现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为_.解析设生产甲、乙两种饮料分别为x桶、y桶，利润为z元，则得

11、即目标函数z200x100y.作出可行域（如图阴影部分所示），当直线z200x100y经过可行域上点B时，z取得最大值，解方程组得点B的坐标（2，2），故zmax20021002600.答案600基础巩固题组（建议用时：30分钟）一、选择题1.不等式组所表示的平面区域的面积为（）A.1 B. C. D.解析作出不等式组对应的区域为BCD，由题意知xB1，xC2.由得yD，所以SBCD（xCxB）2.（2017北京卷）若x，y满足则x2y的最大值为（）A.1 B.3 C.5 D.9解析画出可行域，设zx2y，则yx，当直线y过B（3，3）时，z取得最大值9，故选D.3.（2017全国卷）设x，y满足约束条件则z2xy的最小值是（）A.15 B.9 C.1 D.9解析作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点B（6，3）处取得最小值zm