《锐角三角函数》全章复习与巩固 巩固练习提高带答案解析Word文档下载推荐.docx

1、要点诠释：（1）正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.（2）sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“”， 但不能写成sinA，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“”不能省略，应写成sinBAC，而不能写出sinBAC.（3）sin2A表示（sinA）2，而不能写成sinA2.（4）三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数.要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定

2、的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数.同样，cosA、tanA也是A的函数，其中A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量A的取值范围是0A90，函数值的取值范围是0sinA1，0cosA1，tanA0.2锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式” 如A+B=90， 那么：sinA=cosB； cosA=sinB； 同角三角函数关系：sin2Acos2A=1；tanA=3.30、45角的三角函数值A3060sinAcosAtanA130角的三角函数值和解30直角三角形和解45直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边

3、的比借助锐角三角函数值记熟练.要点二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即A+B=90；边边关系：勾股定理，即边角关系：锐角三角函数，即解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：（1）已知两条边（一直角边和一斜边；两直角边）；（2）已知一条边和一个锐角（一直角边和一锐角；斜边和一锐角）这两种情形的共同之处：有一条边因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际

4、问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程（1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.（2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.（3）根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间的关系解有关的直角三角形.（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见应用问题（1）坡度： 坡角:.（2）方位角：（3）仰角与俯角：1解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤RtABC两边两直角

5、边（a，b）由求A，B=90A，斜边，一直角边（如c，a）一角一直角边和一锐角锐角、邻边（如A，b），锐角、对边（如A，a）斜边、锐角（如c，A）2用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题（解直角三角形），就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形（点、线、角等）以及图形之间的大小或位置关系借助生活常识以及课本中一些概念（如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等）的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解3锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角

6、形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：【典型例题】类型一、锐角三角函数1在RtABC中，C90，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则A的正弦值是（ ） A扩大2倍 B缩小2倍 C扩大4倍 D不变【答案】 D；【解析】根据知sinA的值与A的大小有关，与的比值有关当各边长度都扩大为原来的2倍时，其的比值不变故选D.【总结升华】 锐角三角函数正弦、余弦和正切反映了直角三角形中边与边的关系举一反三：【变式1】已知，如图，中，求cosA及tanA【答案】易证点B、C、D、E四点共圆

7、，ADEABC，cosA= tanA=变式2】如图所示，已知ABC是O的内接三角形，ABc，ACb，BCa，请你证明 1 2 【答案】 证明：O是ABC的外接圆，设圆的半径为R，连结AO并延长交O于点D，连结CD，则BDAD是O的直径，ACD90即ADC为直角三角形，同理可证：类型二、 特殊角三角函数值的计算2已知a3，且，则以a、b、c为边长的三角形面积等于（ ） A6 B7 C8 D9【答案】A；【解析】根据题意知 解得所以a3，b4，c5，即，其构成的三角形为直角三角形，且C90，所以【总结升华】利用非负数之和等于0的性质，求出b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，注

8、意tan45的值不要记错【变式】计算：【答案】原式= =类型三、 解直角三角形3如图所示，在等腰RtABC中，C90，AC6，D是AC上一点，若，则AD的长为（ ）A2 B C D1【思路点拨】 如何用好是解题关解，因此要设法构造直角三角形，若所求的元素不在直角三角形中，则应将它转化到直角三角形中去，转化的途径及方法很多，如可作辅助线构造直角三角形，或找已知直角三角形中的边或角替代所要求的元素等【答案】 A；【解析】 作DEAB于点E因为ABC为等腰直角三角形，所以A45，所以AEDE又设DEx，则AEx，由知BE5x，所以AB6x，由勾股定理知AC2+BC2AB2，所以62+62（6x）2，

9、ADAE【总结升华】在直角三角形中，若已知两边，宜先用勾股定理求出第三边，再求锐角三角函数值；若已知一边和角，应先求另一角，再通过锐角三角函数列出含有未知元素和已知元素的等式求解 类型四 、锐角三角函数与相关知识的综合4如图所示，直角ABC中，C90，AB，sin B，点P为边BC上一动点，PDAB，PD交AC于点D，连接AP， （1）求AC，BC的长；（2）设PC的长为x，ADP的面积为y，当x为何值时，y最大，并求出最大值【思路点拨】 （1）在RtABC中，由AB，易得AC2，再由勾股定理求BC（2），只要把AD用x表示即可求出ADP的面积y，由PDAB可得，从而求出，则【答案与解析】 （

10、1）在RtABC中，由，AC2，由勾股定理得BC4（2）PDAB，ABCDPC，PCx，则，当x2时，y有最大值，最大值是1【总结升华】 近几年，锐角三角函数与圆、函数、相似三角形以及方程相结合的题目在各地中考试题中出现的频率越来越大如圆中的垂径定理，直径所对的圆周角都出现了直角或直角三角形在函数中，在直角坐标系中求点的坐标，离不开求直角三角形两直角边的问题，相似三角形中可将有些元素进行转换或替代【变式】如图，设P是矩形ABCD的AD边上一动点，于点E，于F，求的值【答案】如图，sin1= sin2= 由矩形ABCD知1=2，则 PE=PAsin1，PF=PDsin2,sin1=所以PE+PF

11、= PAsin1+ PDsin2=（PA+PD）sin1=类型五、三角函数与实际问题5某乡镇中学教学楼对面是一座小山，去年“联通”公司在山顶上建了座通讯铁塔甲、乙两位同学想测出铁塔的高度，他们用测角器作了如下操作：甲在教学楼顶A处测得塔尖M的仰角为，塔座N的仰角为；乙在一楼B处只能望到塔尖M，测得仰角为（望不到底座），他们知道楼高AB20 m，通过查表得：0.572 3， 0.2191，0.7489，请你根据这几个数据，结合图形推算出铁塔高度MN的值【答案与解析】 如图所示，设地平线BD、水平线AE分别交直线MN于D、E，显然AEBD，不妨设为m，则在RtAEM中，MEmtan，在RtAEN中，NEmtanMNm（tantan）在RtBDM中，MDmtan，而ABDEMDMEm（tantan），将AB20（m），0.5723， 0.7489代入得MN40（m）可测得铁塔的高度MN40m.【总结升华】构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题.6如图所示，帆船A和帆船B在太湖湖面上训练，O为湖