线段的垂直平分线和角平分线讲义Word格式.docx

1、1.动手用尺规画出一个角的平分线；2.说明为什么是角平分线的理由。 用尺规作角的平分线 .已知:AOB,如图. 求作:射线 OC,使 AOC=BOC.1.在 OA 和 OB上分别截取 OD,OE,使 OD=2.分别以点 D 和 E为圆心 ,以大于 长为半径作弧 ,两弧在 AOB 内交于点 C.3.作射线 OC.则射线 OC就是 AOB 的平分线.请你说明 OC为什么是 AOB的平分线,并与同伴进行交流知识梳理】1、线段的垂直平分线 我们把垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，又叫中垂线 例如：如图所示，点 O 是线段 AB的中点，且 ABCD，垂足为点 O，则 CD是线段 AB的

2、垂直平分线2、线段的垂直平分线的定理 线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等 如图，若 MN为线段 AB的垂直平分线， P 点在 MN上，则 PA=PB3、线段的垂直平分线定理的逆定理 与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 如上图，若 PA=PB，则 P 在 AB的垂直平分线上4、线段的垂直平分线说明了垂直平分线与线段的两种关系： 是位置关系垂直；是数量关系平分5、三角形三边的垂直平分线交于一点从图中可以看出，要证明三条垂直平分线交于一点，只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在 第三条垂直平分线上就可以了6、角的平分线的作法（1）在 AOB的两边 OA、 OB上分别截取 OD

3、、OE，使 OD=OE.（ 2）分别以 D、E 为圆心，以大于 DE长为半径画弧，两弧交于 AOB内一点 C. （3）作射线 OC，则 OC为 AOB的平分线（如图）指出： （ 1）作角的平分线的依据是三角形全等的条件“ SSS”.（ 2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接 .7、角平分线的性质 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . （ 1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长 .（2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据（3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”.8、角平分线的判定 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 .

4、 （ 1）此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的 .（2）此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么过角的顶点和该点的 射线必平分这个角 .9、三角形的角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等 . （ 1）该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点 在第三线上 .（ 2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题 .典型例题】知识点一：线段的垂直平分线考点一：利用线段垂直平分线求角的度数例1、在ABC中，ABAC，AB的中垂线与 AC所在直线相交所得的锐角为 50，求底角 B的大小

5、. 分析：AB的中垂线与 AC所在直线的交点可能在 AC上，也可能在 CA的延长线上，故应分类讨论 解：若A 为锐角，如图AED50， A40 AB AC， BC70 若A为钝角，如图：， EAD40，AB AC， BC20例2、如图， DE是ABC的 AB边的垂直平分线，分别交 AB、BC于 D、 E两点， AE平分 BAC，若 B=30，求C 的度数解：此题考查“线段垂直平分线的性质”因为 DE垂直平分 AB，所以 BE=AE所以 1=B=30 又因为 1=2，所以 1=2=30所以 C=180 BAC B=90考点二：利用线段垂直平分线求长度例3、如图， AB=AC，DE垂直平分 AB交

6、 AB于 D，交 AC于 E若 ABC的周长为 28， BC=8，求 BCE的周长等腰 ABC 的周长为 28， BC=8，2AC BC=28 AC=10DE 垂直平分 AB，BE=AE线（ 段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ） BCE周长 =BE ECBC=AEECBC=AC BC =10 8=18 点拨：这里是将 BCE 的周长转化为等腰 ABC 的腰和底，再由已知条件求得 例4、如图所示，在 ABC 中， AC的垂直平分线交 AC于 E，交 BC于 D，且 BAD的周长为 16cm， AE=7cm，求 ABC的周长因为 DE是 AC的垂直平分线，所以 EA=EC， DA=DC 又

7、因为 AE=7cm，所以 AC2AE27=14（cm）因为 BAD的周长为 16cm，即 ABBD ADABBC 16cm， 所以 ABC的周长为 ABBCAC=1614=30（cm） 例5、直角 ABC中, ACB=90, A=15，将顶点 A翻折使它与顶点 B重合，折痕为 MH，已知 AH=2， 求 BC 的长分析：折叠问题可以看成轴对称问题由外角定理得到直角三角形中有 30角，利用 30角所对的直角边等于斜边的一半可得由于轴对称，得 MAH=A=15所以 BHC=30 ， BH=AH，又 BHC为直角三角形，因为直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半，所以 BC= BH= 2=1

8、变式训练1.如图， AB=AC，AC的垂直平分线 MN 交 AB 于 D，交 AC于 E （1）若 A=40，求 BCD 的度数；（2）若 AE=5，BCD 的周长 17，求 ABC的周长2.在 RtABC中， A=90，AB=3，AC=4，ABC，ACB 的平分线交于 P 点， PEBC于 E 点，求 PE 的长考点三：线段垂直平分线与证明题例6、如图，点 D、 E在ABC的边证明：过点 A作AFBC于 F AB=AC，AFBC，BF=CF BD=C，E BF -BD=CF-CEDF=EFAF 是 DE 的垂直平分线 AD=AE由线段的垂直平分线性质知联结 AF，证线段二倍关系，通常考虑是否

9、有直角三角形，且直角三角形中是否有 30角 .如图所示，联结 AF， AB=AC， BAC=120 （已知）， B=C= =30（等腰三角形性质） .又EF 是 AC的垂直平分线（已知）， FA=FC（线段垂直平分线性质） .C=FAC=30（等边对等角）， BAF=BAC FAC=120 30=90（等式性质） .在 RtBAF中， BAF=90， B=30（ 已证 ） ，AF= BF（在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）CF= BF（等量代换） .BF=2CF（等式性质） .例8、如图，ADBC 于 D点， ABC 中， B=22.5， AB的垂直平分

10、线交 AB于 Q点，交 BC于 P 点，PEAC 于 E 点， AD 交 PE于 F 点求证： DF=DC则 PA=PB，可求 APD=45，从而可得出 AD=PD，连接 PA， 再证 PDFADC（ ASA），即可得证 . 考点四：线段垂直平分线的实际应用 例9、如图所示，牧童在 A 处放牛，他的家在 B处，晚上回家时要到河边 让牛饮一次水，则饮水的地点 选在何处，牧童所走的路最短？本题 A，B 两点在河的同侧， A 点转化到河流的另一侧，设为 A 点到饮水处的距离都相等当 AB 解：如图所示，点 C即为所求直接确定牛饮水的位置并不容易，但若 A，B 在河的两侧就容易了将，直线 是 AA的垂

11、直平分线，不论饮水处在什么位置， A 点与它的对称最小时，饮水处到 A，B 的距离和最小例10、在沪宁高速公路 L 的同侧，有两个化工厂 A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路 边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？院址应同时满足两个条件：（ 1）在公路 L 上；（2）到 A、B 两厂的距离相等。解决问题的关键在于满足条件（ 2） .同时医院在公路上，所以 AB的垂直平分线与公路 L 的交点就是医 院的院址 因为 AC平分 BCD，AEBC， AFCD，所以 AE=AF（角平分线上的点到角的两边的距离相等） .在 ABE与ADF中，AE=AF，AB=A

12、D（已知）， AEB= AFD=90所以 Rt ABERt ADF（HL）.即 ABE ADF.例3、如图所示， BE、CF是 ABC的高， BE、 CF相交于 O，且 OA平分 BAC.求证： OB=OC. 欲证： AD EF，就要证所以考虑证 AEO AFO，由题中条件可知 AEO、 AFO已有一边（公共边）一角对应相等，要 证 AE=AF，问题就解决了，所以需先证明 AED AFD. AD是 BAC的平分线， DEAB，DFAC（已知），所以 DE=DF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等） .在 Rt AED和 Rt AFD中，所以 RtAEDRt AFD（HL）.所以 AE=AF（

13、全等三角形对应边相等） .在 AEO和 AFO中，所以 AEO AFO（SAS） .所以 AOE=AOF（全等三角形对应角相等） .所以 所以 AD EF（垂直定义） .例2、如图所示，四边形 ABCD中， AB=AD，AC平分 BCD，AEBC，AFCD.求证： ABE ADF.要证 OB=OC，需证 BOF COE，条件有对顶角，直角，又 OA是角平分线，不难证 OF=OE，此问 题得证 . 因为 BE AC，ABCF（已知），所以 BFO=CEO=90（垂直定义） .又因为 BE、CF相交于 O，且 OA平分 BAC，所以 OF=OE（角平分线上的点到角两边的距离相等） .在 BOF和 COE中，所以 BOF COE（ASA），所以 OB=OC（全等三角形的对应边相等） .例4. 已知：如图， ABC 中， ABC=45， CDAB 于 D，BE平分 ABC，且 BEAC于 E，与 CD相交于 点 FH 是 BC边的中点，连结 DH与 BE相交于点 G（1） 求证： BF=AC；（2） 求证： CE= BF；（3）CE 与 BG的大小关系如何？试证明你的结论解析： （1