1、3484(人)(2) 排队型:假设队伍有N人,A排在第M位;则其前面有(M-1)人,后面有(N-M)人(3) 爬楼型:从地面爬到第N层楼要爬(N-1)楼,从第N层爬到第M层要爬层。三、植树问题 线型棵数=总长/间隔+1环型棵数=总长/间隔楼间棵数=总长/间隔-1 (1)单边线形植树:棵数总长间隔1;总长=(棵数-1)间隔 (2)单边环形植树:棵数总长间隔; 总长=棵数 (3)单边楼间植树:棵数总长间隔1;总长=(棵数+1) (4)双边植树:相应单边植树问题所需棵数的2倍。 (5)剪绳问题:对折N次,从中剪M刀,则被剪成了(2NM1)段四、行程问题 路程速度时间; 平均速度总路程总时间 平均速度
2、型:平均速度(2)相遇追及型:相遇问题:相遇距离=(大速度+小速度)相遇时间 追及问题:追击距离=(大速度小速度)追及时间 背离问题:背离距离=(大速度+小速度)背离时间(3)流水行船型: 顺水速度船速水速; 逆水速度船速水速。 顺流行程=顺流速度顺流时间=(船速+水速)顺流时间 逆流行程=逆流速度逆流时间=(船速水速)逆流时间(4)火车过桥型: 列车在桥上的时间(桥长车长)列车速度 列车从开始上桥到完全下桥所用的时间(桥长车长) 列车速度=(桥长+车长)过桥时间(5) 环形运动型: 反向运动:环形周长=(大速度+小速度) 同向运动:环形周长=(大速度小速度)(6) 扶梯上下型:扶梯总长=人走
3、的阶数(1),(顺行用加、逆行用减)顺行:速度之和时间=扶梯总长逆行:速度之差(7) 队伍行进型: 对头队尾:队伍长度=(u人+u队)时间 队尾对头:队伍长度=(u人u队)时间 (8) 典型行程模型: 等距离平均速度: (U1、U2分别代表往、返速度) 等发车前后过车:核心公式:, 等间距同向反向: 不间歇多次相遇:单岸型: 两岸型: (s表示两岸距离) 无动力顺水漂流:漂流所需时间=(其中t顺和t逆分别代表船顺溜所需时间和逆流所需时间)五、溶液问题 溶液=溶质+溶剂 浓度=溶质溶液 溶质=溶液浓度 溶液=溶质浓度 浓度分别为a%、b%的溶液,质量分别为M、N,交换质量L后浓度都变成c%,则
4、混合稀释型 等溶质增减溶质核心公式: (其中r1、r2、r3分别代表连续变化的浓度)六、利润问题(1)利润销售价(卖出价)成本; 利润率1;(2)销售价成本(1利润率); 成本。(3)利息本金利率时期; 本金本利和(1+利率时期)。 本利和本金利息本金时期)=; 月利率=年利率12; 月利率12=年利率。某人存款2400元,存期3年,月利率为102(即月利1分零2毫),三年到期后,本利和共是多少元?”2400(1+10236) =240013672 =328128(元)七、年龄问题关键是年龄差不变;几年后年龄大小年龄差倍数差小年龄 几年前年龄小年龄大小年龄差倍数差八、容斥原理 两集合标准型:满
5、足条件A的个数+满足条件B的个数两者都满足的个数=总个数两者都不满足的个数 三集合标准型:A+B+C-(AB+BC+AC)+ABC=总个数-都不满足的个数,即满足条件A的个数+满足条件B的个数+满足条件C的个数-三者都不满足的情况数= 三集和整体重复型:假设满足三个条件的元素分别为ABC,而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中:满足一个条件的元素数量为x,满足两个条件的元素数量为y,满足三个条件的元素数量为z,可以得以下等式:W=x+y+z A+B+C=x+2y+3z 三集和图标标数型:利用图形配合,标数解答特别注意“满足条件”和“不满足条件”的区别特别注意有没有“三个条件都不满足”的情
6、形标数时,注意由中间向外标记九、牛吃草问题y=(Nx)T 原有草量(牛数每天长草量)天数,其中:一般设每天长草量为X注意:如果草场面积有区别,如“M头牛吃W亩草时”,N用代入,此时N代表单位面积上的牛数。十、指数增长 如果有一个量,每个周期后变为原来的A倍,那么N个周期后就是最开始的AN倍,一个周期前应该是当时的。十一、调和平均数调和平均数公式:等价钱平均价格核心公式: (P1、P2分别代表之前两种东西的价格 )等溶质增减溶质核心公式:十二、减半调和平均数十三、余数同余问题 核心口诀:“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期” 注意:n的取值范围为整数,既可以是负值,也可以取零值。十四、星
7、期日期问题 闰年(被4整除)的2月有29日,平年(不能被4整除)的2月有28日,记口诀:一年就是1,润日再加1;一月就是2,多少再补算。 平年与闰年判断方法年共有天数2月天数平 年不能被4整除365天28天闰 年可以被4整除366天29天星期推断:一年加1天;闰年再加1天。 大月与小月包括月份月共有天数大月1、3、5、7、8、10、1231天小月2、4、6、9、1130天 注意:星期每7天一循环;“隔N天”指的是“每(N+1)天”。十五、不等式(1)一元二次方程求根公式:ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 其中:x1=;x2=(b2-4ac0)根与系数的关系:x1+x2=-,x1x2
8、=(2) (3) 推广:(4)一阶导为零法:连续可导函数,在其内部取得最大值或最小值时,其导数为零。(5)两项分母列项公式:=()(6)三项分母裂项公式:=十六、排列组合(1)排列公式:Pn(n1)(n2)(nm1),(mn)。 (2)组合公式:CPP(规定1)。(3)错位排列(装错信封)问题:D10,D21,D32,D49,D544,D6265,(4)N人排成一圈有/N种;N枚珍珠串成一串有/2种。十七、等差数列(1) sn na1+n(n-1)d; (2)ana1(n1)d; (3)项数n 1;(4)若a,A,b成等差数列,则:2Aa+b; (5)若m+n=k+i,则:am+an=ak+a
9、i ;(6)前n个奇数:1,3,5,7,9,(2n1)之和为n2 (其中:n为项数,a1为首项,an为末项,d为公差,sn为等差数列前n项的和)十八、等比数列(1)ana1qn1; (2)sn (q1) (3)若a,G,b成等比数列,则:G2ab; (4)若m+n=k+i,则:aman=akai ; (5)am-an=(m-n)d (6)q(m-n)(其中:n为项数,a1为首项,an为末项,q为公比,sn为等比数列前n项的和)十九、典型数列前N项和 4.2 4.3 4.7 平方数底数123567891011平方162536496481100121121314151718192021221441691962252562893243614004414842324262728293031323352957662567672978484190096110241089立方数立方12521634351210001331多次方数次方1282048243312512967776
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