1、得设M(a,b,0),则由平面A1B1C1,得即解得故因此,所以线段BM的长为方法二:(I)解:由于AC/A1C1,故是异面直线AC与A1B1所成的角.因为平面AA1B1B,又H为正方形AA1B1B的中心,因此所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为(II)解:连接AC1,易知AC1=B1C1,又由于AA1=B1A1,A1C1=A1=C1,所以,过点A作于点R,连接B1R,于是,故为二面角AA1C1B1的平面角.在中,连接AB1,在中,所以二面角AA1C1B1的正弦值为(III)解:因为平面A1B1C1,所以取HB1中点D,连接ND,由于N是棱B1C1中点,所以ND/C1H且.又平面AA1B
2、1B,所以平面AA1B1B,故又所以平面MND,连接MD并延长交A1B1于点E,由得,延长EM交AB于点F,可得连接NE.所以连接BM,在中,2. (2011北京理)16(本小题共14分)如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,.()求证:平面()若求与所成角的余弦值;()当平面与平面垂直时,求的长.【解析】(16)(共14分)证明:()因为四边形ABCD是菱形,所以ACBD.又因为PA平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC.()设ACBD=O.因为BAD=60,PA=PB=2,所以BO=1,AO=CO=.如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,则P(0,2),A(0,0),B(
3、1,0,0),C(0,0).设PB与AC所成角为,则.()由()知设P(0,t)(t0),设平面PBC的法向量,所以令则同理,平面PDC的法向量因为平面PCB平面PDC,所以=0,即解得所以PA=3. (2011辽宁卷理)18(本小题满分12分)如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,PDQA,QA=AB=PD (I)证明:平面PQC平面DCQ; (II)求二面角QBPC的余弦值【解析】18解:如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz. (I)依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).即PQDQ,PQDC.故PQ平
4、面DCQ.又PQ平面PQC,所以平面PQC平面DCQ. 6分 (II)依题意有B(1,0,1),设是平面PBC的法向量,则因此可取设m是平面PBQ的法向量,则可取故二面角QBPC的余弦值为 12分4. (全国大纲卷理)19(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)如图,四棱锥中, ,,侧面为等边三角形,()证明:;()求与平面所成角的大小【解析】19解法一: (I)取AB中点E,连结DE,则四边形BCDE为矩形,DE=CB=2, 连结SE,则 又SD=1,故, 所以为直角。3分 由, 得平面SDE,所以。 SD与两条相交直线AB、SE都垂直。 所以平面SAB。6分 (II)由平面SDE知
5、, 平面平面SED。 作垂足为F,则SF平面ABCD, 作,垂足为G,则FG=DC=1。 连结SG,则, 又, 故平面SFG,平面SBC平面SFG。9分 作,H为垂足,则平面SBC。 ,即F到平面SBC的距离为 由于ED/BC,所以ED/平面SBC,E到平面SBC的距离d也有 设AB与平面SBC所成的角为, 则12分 解法二: 以C为坐标原点,射线CD为x轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz。设D(1,0,0),则A(2,2,0)、B(0,2,0)。又设 (I),由得故x=1。又由即3分于是,故所以平面SAB。 (II)设平面SBC的法向量,故9分取p=2得。故AB与平面SBC所成的
6、角为5. (全国新课标理)(18)(本小题满分12分)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.PABD;()若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。(18)解:()因为, 由余弦定理得 从而BD2+AD2= AB2,故BDAD又PD底面ABCD,可得BDPD所以BD平面PAD. 故PABD()如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-,则,。设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则 即 因此可取n=设平面PBC的法向量为m,则 可取m=(0,-1,) 故二面角A-PB-C的余弦值为 6.
7、(2011江西卷理)21(本小题满分14分) (1)如图,对于任一给定的四面体,找出依次排列的四个相互平行的平面 ,使 得(i=1,2,3,4),且其中每相邻两个平面间 的距离都相等; (2)给定依次排列的四个相互平行的平面,其中每相邻两个平面间的距离为1,若一个正四面体的四个顶点满足:(i=1,2,3,4),求该正四面体的体积.解: (1)将直线三等分,其中另两个分点依次为,连接,作平行于的平面,分别过,即为。同理,过点作平面即可的出结论。 (2)现设正方体的棱长为a,若,由于得,那么,正四面体的棱长为,其体积为(即一个棱长为a的正方体割去四个直角三棱锥后的体积)7. (山东卷理)19(本小
8、题满分12分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,ACB=,平面,EF,.=.()若是线段的中点,求证:平面;()若=,求二面角-的大小【解析】19(I)证法一:因为EF/AB,FG/BC,EG/AC,所以由于AB=2EF,因此,BC=2FC,连接AF,由于FG/BC,在中,M是线段AD的中点,则AM/BC,且因此FG/AM且FG=AM,所以四边形AFGM为平行四边形,因此GM/FA。又平面ABFE,平面ABFE,所以GM/平面AB。证法二:取BC的中点N,连接GN,因此四边形BNGF为平行四边形,所以GN/FB,在中,M是线段AD的中点,连接MN,则MN/AB,因为所以平面GM
9、N/平面ABFE。又平面GMN,所以GM/平面ABFE。 (II)解法一:因为,又平面ABCD,所以AC,AD,AE两两垂直,分别以AC,AD,AE所在直线为x轴、y轴和z轴,建立如图所法的空间直角坐标系,不妨设则由题意得A(0,0,0,),B(2,-2,0),C(2,0,0,),E(0,0,1),设平面BFC的法向量为所以取设平面ABF的法向量为,则,因此二面角ABFC的大小为解法二:由题意知,平面平面ABCD,取AB的中点H,连接CH,因为AC=BC,所以,则平面ABFE,过H向BF引垂线交BF于R,连接CR,所以为二面角ABFC的平面角。由题意,不妨设AC=BC=2AE=2。在直角梯形A
10、BFE中,连接FH,则,又因此在中,由于所以在中,8. (2011陕西理)16(本小题满分12分)如图,在中,是上的高,沿把折起,使 。平面平面;()设为的中点,求与夹角的余弦值。【解析】16解()折起前是边上的高,当折起后,AD,AD,又DB,平面,AD 平面平面BDC平面ABD平面BDC。()由及()知DA,DC两两垂直,不防设=1,以D为坐标原点,以所在直线轴建立如图所示的空间直角坐标系,易得D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,),E(,0),=,=(1,0,0,),与夹角的余弦值为,=9. (上海理)21(14分)已知是底面边长为1的正四棱柱,是和的交点。
11、(1)设与底面所成的角的大小为,二面角的大小为。求证:;(2)若点到平面的距离为,求正四棱柱的高。【解析】21解:设正四棱柱的高为。 连,底面于, 与底面所成的角为,即 ,为中点,又, 是二面角的平面角,即 ,。 建立如图空间直角坐标系,有设平面的一个法向量为, ,取得 点到平面的距离为,则。10. (四川理)19(本小题共l2分) 如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中 BAC=90,AB=AC=AA1 =1D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1平面BDA(I)求证:CD=C1D:(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;()求点C到平面B1DP的距离解析:(1)连接交于,又为的中点,中点,,D为的中点。(2)由题意,过B 作,连接,则,为二面角的平面角。在中,,则(3)因为,所以,在中,11. (2011浙江理)20(本题满分15分)如图,在三棱锥中,D为
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