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1、经过两条平行直线，有且只有一个平面。（4）公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。对于定理，首先要记忆准确，其次要明确它的作用，即用此定理能够解决什么 问题。例1.已知：三条直线两两相交，有三个交点，求证：这三条直线共面证明：如图， an b=A.直线a，b确定一个平面土（公理三的推论）， bA c=B,A B b，A B ,同理，C ，直线BC1二（公理一），即：c ，直线a，b，c共面于平面“。例2.已知： ABC的三条边的延长线与平面 &交于P、Q、R三点, 求证：P、Q、R三点共线。如图，直线 BA的延长线与平面 二交于P点，点 P 亠且 P 面 ABC ,点P是平面耳与平面ABC

2、的公共点， 同理点Q、R也是平面上与平面ABC的公共点， P、Q、R三点共线于平面&与平面ABC的公共直线。二、有关线面平行问题1.直线与直线平行：（1 ）平行于同一条直线的两条直线平行；（2）如果一条直线与一个平面平行， 经过这条直线的平面与这个平面相交, 那么这条直线与交线平行；（3）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；（4）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；2.直线与平面平行：（1）如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线 与这个平面平行；（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；3.平面与平面平行：（1）

3、如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行;（2）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。在平行的定义与定理中体现了新、旧知识之间的联系，线线平行 f线面平行f面面平行，我们在解决问题时也应该遵循这个思路。例若三个平面两两相交有三条交线，则这三条交线平行或共点。如图，=- = a, A； =b,A直线a, b共面于平面-，直线a，b的位置关系为平行或相交，（1）当 a/ b 时，二：. 一二 l. . . 又A左二c，. a / c，这三条交线平行；（2）当 aA b=0时,abO a,二 A“ =a，A O 耳，O b，“ A =b，二O ,二点O在平面上，

4、的公共点，二c,.点 O 在直线 c上,这三条交线共点。三、有关线面垂直问题1直线与直线垂直：（1） 如果两条平行线中的一条垂直于第三条直线， 那么另一条直线也垂直于第 三条直线；（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线；（3）三垂线定理：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线在这个平面内 的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直；三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那 么它也与这条斜线在这个平面内的射影垂直；2直线与平面垂直：（1） 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么这条直线与这个 平面垂直；（2） 如果两条平行线中的一

5、条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于这个平面；（3）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也垂直于另一个；（4）两个平面垂直，如果一个平面内的一条直线垂直于交线，那么这条直线垂 直于另一个平面；3平面与平面垂直:（1）如果两个平面相交所成的二面角为直二面角，那么么这两个平面垂直；（2）如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直；注意：垂直不是位置关系中的一种，它只是相交中的一种特殊情况，垂直中最 重要的是线线垂直，因此三垂线定理及其逆定理是我们解决问题中最常用的定理， 它还应用于成角与距离问题。例.已知：ABCD为矩形，PA丄底面ABCD，M、N分别为PC、AB的中点, 求

6、证：MN丄AB。v M、N 分别为 PC、AB 的中点，二 M0 / PA，NO/ BC，/ PA丄底面 ABCD，二M0丄底面 ABCD， NO为MN在平面ABCD上的射影，v ABCD 为矩形，二 BC丄AB，二 N0丄AB， MN 丄AB。证法二：连接PC、MA、MB，宓二丄M同理， PAC也为直角三角形， , MA二MB，v N 为 AB 的中点, MN 丄AB。证法三：（利用向量的方法）_ . 匚- I- - . I 厂 I- （bc丄ab（猛*丽 （丽 + 励盂=（习+ 丽+丽+丽盂. MN NM - = C1 . mn 丄AB。四、有关线面成角问题1异面直线所成的角： 经过空间任

7、意一点，分别引两条异面直线 a、b的平行线、，、所成的锐角（或直角）叫做异面直线a、b所成的角。（0 9 902 直线与平面所成的角：（1） 平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角，叫做斜线与平面所成的角;（2） 当线面垂直时，垂线与平面所成的角为直角；（3） 线面平行或线在面内，规定线面角为零角。直线与平面所成的角：0WBW903.平面与平面所成的角：（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。（ 093 丽硕=-八 ，故所求的二面角为五有关线面距

8、离问题1点与点的距离：直线段的长；2.点与直线的距离：点与垂足间的距离；3 点与平面的距离：垂线段的长；4.直线与直线的距离：（1）平行：一直线上 任意一点到另一直线的距离；（2） 异面：公垂线段的长；5.直线与平面的距离：直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离；6.平面与平面的距离：平面上任意一点到平面的距离；距离问题最重要的是点、面距离，它可以通过找到垂足，利用点点距求出；更 常用的是利用等积（体积）法求出。其他的距离（线线、线面、面面）都可以通过 转化的思想转化为点面距，转化的前提要证明平行的存在。例.如图所示的多面体是由底面为 ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得至曲勺，其

9、中 AB=4 , BC=2, CCi=3, BE=1-G（I）求BF的长；（n）求点C到平面AECiF的距离。解法1:（I）过 E 作 EH II BC 交 CCi 于 H，贝V CH=BE=1 , EH II AD , 且 EH=AD ,又 v AF II ECi,AZ FAD= Z CiEH，二 Rt ADF 如Rt EHCi,DF=CiH=2 , 上F =2品。 （n）延长 CiE与CB交于G，连AG，则平面AECiF与平面ABCD相交于 AG ,过C作CM丄AG，垂足为M，连CiM ,由三垂线定理可知AG丄CiM ,由于AG丄面CiMC ,且AG匚面AECiF,所以平面 AECiF丄面CiMC。 在RtACiCM中，作CQ丄MCi，垂足为Q,则CQ的长即为C到平面AECiF的距离,由 Z GAB= Z MCG , 得解法2:则 D（0, 0, 0）, B（2, 4, 0）, A（2, 0, 0）, C（0, 4, 0）, E（2, 4, 1）, Ci（0, 4, 3）设 F（0, 0, z）,Jis 岸 K- AECiF