优质部编版高考数学大一轮复习 第九章第8节 圆锥曲线的综合问题学案 文 新人教A版Word文档下载推荐.docx

1、常用结论及微点提醒1.直线与椭圆位置关系的有关结论（1）过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；（2）过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；（3）过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.2.直线与抛物线位置关系的有关结论（1）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；（2）过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；（3）过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线.诊 断 自 测1.思考辨析（在括号内打“”或“”）（1）直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆

2、C只有一个公共点.（）（2）直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.（）（3）直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.（）（4）如果直线xtya与圆锥曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则弦长|AB|y1y2|.（）解析（2）因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.（3）因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.答案（1）（2）（3）（4）2.直线ykxk1与椭圆1的位置关系为（）A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定解析直线ykxk1k（x1）1恒过定点（

3、1，1），又点（1，1）在椭圆内部，故直线与椭圆相交.答案A3.双曲线1的焦点到渐近线的距离为（）A.2 B.2 C. D.1解析双曲线1的一个焦点为F（4，0），其中一条渐近线方程为yx，点F到xy0的距离为2.4.过抛物线y2x2的焦点的直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1x2等于_.解析易知抛物线y2x2的焦点为，设过焦点的直线的斜率为k，则其方程为ykx，由得2x2kx0，故x1x2.答案5.已知F1，F2是椭圆16x225y21 600的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1PF2，则F1PF2的面积为_.解析由题意可得|PF1|PF2|2a20，|PF1|2|

4、PF2|2|F1F2|24c2144（|PF1|PF2|）22|PF1|PF2|2022|PF1|PF2|，解得|PF1|PF2|128，所以F1PF2的面积为|PF1|PF2|12864.答案64考点一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1（ab0）的左焦点为F1（1，0），且点P（0，1）在C1上.（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程.解（1）椭圆C1的左焦点为F1（1，0），c1，又点P（0，1）在曲线C1上，1，得b1，则a2b2c22，所以椭圆C1的方程为y21.（2）由题意可知，直线l的

5、斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为ykxm，由消去y，得（12k2）x24kmx2m220.因为直线l与椭圆C1相切，所以116k2m24（12k2）（2m22）0.整理得2k2m210.由消去y，得k2x2（2km4）xm20.因为直线l与抛物线C2相切，所以2（2km4）24k2m20，整理得km1.综合，解得或所以直线l的方程为yx或yx.规律方法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择题、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.【训练1】 若直线

6、mxny4与圆O：x2y24没有交点，则过点P（m，n）的直线与椭圆1的交点个数为（）A.至多一个 B.2C.1 D.0解析直线mxny4和圆O：x2y24没有交点，2，m2n24，1m2b0）的左、右焦点，过F2作倾斜角为的直线交椭圆D于A，B两点，F1到直线AB的距离为2，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形的面积为2.（1）求椭圆D的方程；（2）设过点F2的直线l被椭圆D和圆C：（x2）2（y2）24所截得的弦长分别为m，n，当mn最大时，求直线l的方程.解（1）设F1的坐标为（c，0），F2的坐标为（c，0）（c0），则直线AB的方程为y（xc），即xyc0，2，解得c2.2a2b2，ab，

7、又a2b2c2，a25，b21，椭圆D的方程为y21.（2）由题意知，可设直线l的方程为xty2，则圆心C到直线l的距离d，n2，由得（t25）y24ty10，设直线l与椭圆D的交点坐标为（x1，y1），（x2，y2），y1y2，y1y2，m|y1y2|，mn2，直线l的方程为xy20或xy20.规律方法1.弦长的三种常用计算方法（1）定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题.（2）点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长.（3）弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根

8、与系数的关系得到的.2.处理中点弦问题常用的求解方法点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.【训练2】 （1）（2018郑州一模）已知倾斜角为60的直线l通过抛物线x24y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|_.（2）已知椭圆E：1（ab0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为（1，1），则E的方程为（）A.1 B.1C.1 D.1解析（1）直线l的方程为yx1，由得y214y10.设A（x1，y1），B（x2，y2），则y

9、1y214，|AB|y1y2p14216.（2）因为直线AB过点F（3，0）和点（1，1），所以直线AB的方程为y（x3），代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，a3.答案（1）16（2）D考点三圆锥曲线的综合问题【例3】 （2018长春模拟）已知抛物线E：x22py（p0）的焦点为F，以抛物线E上点P（2，y0）为圆心的圆与直线y相交于M,N两点，且|.（1）求抛物线E的方程；（2）设直线l与抛物线E相交于A，B两点，线段AB的中点为D.与直线l平行的直线与抛物线E切于点C.若点A，B到直线CD的距离之和为4，

10、求证：ABC的面积为定值.（1）解由抛物线的定义得|PF|y0，点P到直线y的距离为y0，圆P与直线y相交于M，N两点，且|，即cosPMN，PMN30点P到直线y的距离为|，即|2，|，y0，得y0p，将点（2，p）代入抛物线方程，得p2，抛物线E的方程为x24y.（2）证明设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为ykxb，代入抛物线方程，得x24kx4b0，则x1x24k，x1x24b，则点D（2k，2k2b）.设与直线l平行且与抛物线E相切的直线方程为ykxm，代入抛物线方程，得x24kx4m0，由16k216m0，得mk2，点C的横坐标为2k，则C（2k，k2），直线CD与

11、x轴垂直，则点A，B到直线CD的距离之和为|x1x2|，即|x1x2|4，4，则16k216b32，即b2k2，|CD|2k2bk2|2，SABC|CD|x1x2|244，即ABC的面积为定值.规律方法圆锥曲线的综合问题主要包括：定点、定值问题，最值、范围问题.（1）求解最值与范围问题的关键在于准确利用已知条件构造不等关系式或目标函数，通过解不等式或求解目标函数的值域解决相应问题.（2）关于定点的考题多以坐标轴上的点为研究对象，注意特殊位置的选取.（3）定值问题一般从特殊入手，再证明，还可以直接推理、计算，从而得到定值.【训练3】 （2018武汉模拟）已知点F为椭圆E：0）的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线1与椭圆E有且仅有一个交点M.（1）求椭圆E的方程；（2）设直线1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若|PM|2|PA|PB|，求实数的取值范围.解（1）由题意，得a2c，bc，则椭圆E为1.由得x22x43c20.直线1与椭圆E有且仅有一个交点M，44（43c2）0c21，a2，b，椭圆E的方程为1.（2）由（1）得M ，直线1与y轴交于P（0，2），|PM|2，当直线l与x轴垂直时，|PA|PB|（2）（2）1，|PM|2|PA|PB|.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的