双曲线的性质知识讲解Word文件下载.docx

1、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。离心率双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。因为ca0，所以双曲线的离心率由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线，所以离心率渐近线经过点A2、A1作y轴的平行线x=a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。要点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较标准方程图形性质焦点，焦距关于x轴、y轴和原点对称 轴实轴

2、长=，虚轴长=渐近线方程要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。要点三、双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线与双

3、曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为.要点四、双曲线中a,b,c的几何意义及有关线段的几何特征：双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：cb0，ca0，且c2=b2+a2。，如图：（1）实轴长，虚轴长,焦距（2）离心率：；（3）顶点到焦点的距离：（4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、和角结合起来.（5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定

4、理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段，有关角结合起来，建立之间的关系. 【典型例题】类型一：双曲线的简单几何性质例1求双曲线的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率.【解析】 把方程化为标准方程，由此可知实半轴长，虚半轴长，双曲线的实轴长，顶点坐标，焦点坐标，渐近线方程为【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a和2a，b和2b的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示. 举一反三：【变式1】双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于（）A B4 C4 D.【答案】A【变式2】已知双曲线8kx2ky2=2的一个焦点为，则k的

5、值等于（ ）A2 B1 C1 D【答案】C例2方程表示双曲线，求实数m的取值范围。【解析】由题意得或 实数m的取值范围为【总结升华】方程Ax2+By2=1表示双曲线时，A、B异号。【变式1】求双曲线的焦距。【答案】8【变式2】设双曲线的渐近线方程为，则的值为 A4 B3 C2 D1【变式3】双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a_【答案】 OABC是正方形， AOB45即直线OA方程为yx，此为双曲线的渐近线，因此a=b，又由题意 故填2类型二：双曲线的渐近线例3. 根据下列条件，求双曲线方程。（1） 与双曲线有共同的渐近

6、线，且过点（2）一渐近线方程为，且双曲线过点【解析】（1）解法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为由题意，得，解得所以双曲线的方程为当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为（舍去）综上所得，双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为），将点代入得所以双曲线方程为即（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是故设双曲线方程为点在双曲线上，所求双曲线方程为【总结升华】求双曲线的方程，关键是求，在解题过程中应熟悉各元素（及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为）.【变式1】中心在原点，一个焦点在（0,3），一条渐近线为的双曲线方程是（ ）A、 B、C、 D、【答案】D【

7、变式2】（2015春 黑龙江期末）与双曲线有共同的渐近线，且过点（2,2）的双曲线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设双曲线方程为 因为双曲线过点（2,2），所以k=3,故选B。【变式3】设双曲线【变式4】双曲线与有相同的（ ）A实轴 B焦点 C渐近线 D以上都不对类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围例4. 已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,求双曲线的离心率。【解析】是正三角形，【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a、c满足的关系式，从而求出【变式1】（1） 已

8、知双曲线的离心率过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点间的距离为，求双曲线的方程.（2） 求过点（-1,3），且和双曲线有共同渐近线的双曲线方程.（1）（2）【变式2】已知双曲线=1与x轴正半轴交于A点，F是它的左焦点，设B点坐标为（0,b），且ABBF，则双曲线的离心率为（ ） C、【答案】B 【变式3】 （2015 山东文）过双曲线（a0,b0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为 .【解析】双曲线的右焦点为（c，0）.不妨设所作直线与双曲线的渐近线平行，其方程为，代入求得点P的横坐标为，由，得，解之得（舍去，因为离心率），故双曲线的离

9、心率为例5.已知双曲线（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线离心率e的最大值为_【解析】由|PF1|PF2|2a及|PF1|4|PF2|得：|PF2|，又|PF2|ca，所以，即e的最大值为【总结升华】离心率的取值范围和最值问题关键是要找到双曲线几何量的不等关系；如定义、韦达定理等；从而求出e的范围.【变式1】已知a、b、c分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax2bxc0无实根，则双曲线离心率的取值范围是（）A1e2 B12C13 D12【变式2】已知过双曲线右焦点且倾斜角为45的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是_【答案】（1，）类型五：双曲线的焦点三角形例6若F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，点P在双曲线上，且|PF1|PF2|32，求F1PF2的大小【解析】由双曲线的方程，知a3，b4，所以c5.由双曲线的定义得，|PF1|PF2|2a6.上式两边平方得，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|100，由余弦定理得，所以F1PF290【总结升华】在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系【变式】已知双曲线，P为双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，并且，求的面积。