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1、定理6：如果，那么存在，使得时有定理7：如果和都是收敛序列，且满足那么1.2 收敛原理（单调序列定义）（）若实数序列满足则称是递增的或者单调上升的，记为（）若实数序列满足则称是递减的或者单调下降的，记为（）单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。定理：递增序列收敛的充分必要条件是它有上界，其上确界记为。定理1推论：递减序列收敛的充分必要条件是它有下界，其下确界记为。扩展：因为一个序列的收敛性及其极限值都只与这序列的尾部（即从某一项之后的项）有关，所以定理1和它的推论中单调性条件可以虚弱为“从某一项之后单调”，即为及（自然对数的底）自然对数的底通过下面这个式子求得我们先来证明序列是收敛的。

2、（1）序列是单调上升的。对比和的展开式，前面项的每一项都比中相应项要大，即除此之外还比在最后多一个正项。因此我们得出是单调上升的，即（2）序列是有上界的。序列是单调上升且有上界，因此必是收敛的，此收敛值用表示。通过计算机模拟，我们可以得到的近似值，前几位是2.718281828459045 在数学中，以为底的对数称为自然对数，称为自然对数的底，正实数的自然对数通常记为，或者。（闭区间套原理）定理2（闭区间套原理）：如果实数序列和（或闭区间序列）满足条件（1）（或者）（2）（i）闭区间序列形成一个闭区间套。（ii）实数序列和收敛于相同的极限值。（iii）是满足以下条件的唯一实数值。证明：（ii）

3、由条件（1）可得我们可以看到单调上升而有上界，单调下降而有下界，因此和都是收敛序列。由条件（2）可得，因此实数序列和收敛于相同的极限值。（iii）因为所以显然有假如还有一个实数满足由于那么根据夹逼准则，有则证明了是唯一的。（Bolzano-Weierstrass定理）设是实数序列，而是一串严格递增的自然数，则也形成一个实数序列。我们把序列叫做序列的子序列（或部分序列），要注意的是子序列的序号是 。设序列收敛于，则它的任何子序列也都收敛于同一极限。对于任意，存在，使得只要，就有当时就有，因而此时有定理4（Bolzano-Weierstrass）：设是有界序列，则它具有收敛的子序列。（柯西收敛原理

4、）柯西序列定义：如果序列满足条件：对于任意，存在，使得当时，就有则此序列为柯西序列，又称基本序列。引理：柯西序列是有界的。于是对于，我们有若记则有定理5（收敛原理）：序列收敛的必要充分条件是：对任意，存在，使得当时，就有换句话说：序列收敛1.3 无穷大（1）设是实数序列，如果对任意正实数，存在自然数，使得当时就有那我们就说实数序列发散于，记为（2）设是实数序列，如果对任意正实数，存在自然数，使得当时就有（3）设是实数序列，如果序列发散于，即，那么我们就称为无穷大序列，记为注记：（1）若集合无上界，则记（2）若集合无下界，则记单调序列必定有（有穷的或无穷的）极限，具体而言是：（1）递增序列有极限

5、，且（2）递减序列有极限，且定理2：设和是实数序列，满足条件则有：（1）如果，那么；（2）如果，那么。如果（或，或），那么对于的任意子序列也有（或，或）设，则是无穷大序列是无穷小序列扩充的实数系：实数序列至多只能有一个极限。扩充的实数系中的运算：（1）如果，那么（2）如果，那么如果，那么（3）如果，那么（4），（5）除此之外，其余都没有定义。1.4 函数的极限点的领域：点的去心领域：的去心领域：统一叙述：对于，我们用表示的某个去心邻域，当为有穷实数时，的形式为，当时，的形式为。函数极限的序列式定义：设（和都可以是有穷实数或者），并设函数在的某个去心邻域上有定义。如果对于任何满足条件的序列，相应

6、的函数值序列都以为极限，那么我们说当时，函数的极限为，记为简单例子如：；，因为；，因为。函数极限是唯一的。设，和在的某个去心邻域上有定义，并且满足不等式如果关于函数的极限，有以下的运算法则：定理4（复合函数求极限）：设函数在点的某个去心邻域上有定义，。又设函数在点的某个去心邻域上有定义，把中的点映射到之中（用记号表示就是：）并且，则有多项式函数与有理数分式函数求极限的法则如下：（1）设是任意多项式，则（2）设是任意多项式，是非零多项式，不都是0，则（3）设，则因为1.5单侧极限定义（序列方式）：设，并设函数在有定义。如果对任意满足条件的序列，相应的函数值序列都以为极限，那么我们就说：时函数的极

7、限为，记为定义（方式）：如果对任意，存在，使得只要就有那么我们就说：定义（方式，特殊的）：可用类似的方式来定义的极限。设，并设函数在点的去心邻域上有定义。则极限存在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等：当这条件满足时，我们有单调函数定义：设函数在集合上有定义。（1）如果对任意，都有那么我们就说函数在集合上是递增的或者单调上升的。（2）如果对任意，都有那么我们就说函数在集合上是递减的或者单调下降的。（3）单调上升函数与单调下降函数统称为单调函数。1.6 连续与间断定义I：设函数在点的邻域上有定义。如果对任何满足条件的序列，都有那么我们就说函数在点连续，或者说点事函数的连续点。定义II：如果对

8、任意，存在，使得只要，就有设函数在点连续，则存在，使得函数在上有界。（证明过程参考函数极限）设函数和在点连续，则（1）在点连续；（2）在点连续；（3）在使得的处连续；（4）在点连续。设函数在点连续，则函数也在点连续.，余下易证。设函数和在点连续。如果，那么存在，使得对于有定理5（复合函数的连续性）：设函数在点连续，函数在点连续，那么复合函数在点连续.定义单侧连续：设函数在上有定义，如果那么我们就说函数在点左侧连续。类似的可以定义右侧连续。引入记号我们知道极限存在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等（这个相等值为极限值，不一定是该点的函数值），可以写成但是如果在点左连续和右连续，则说明在点两

9、个单侧极限存在并且相等，且这个相等的值一定是该点的函数值），可以写成在点左连续和右连续是在点连续的充分必要条件。简单的说就是：设函数在上有定义，则在点连续的充分必要条件是反过来说，如果在上有定义，但在点不连续，则称为间断点。有情形I和情形II，这两种情形下点分别成为第一类间断点和第二类间断点。情形I（第一类间断点）：两个单侧极限都存在，但情形II（第二类间断点）：至少一个单侧极限不存在。注意：单侧极限存在并不代表单侧连续，如果在点单侧极限存在，并且此极限值等于在点的函数值，那么就说在点单侧连续。简单的例子，例如函数，0为第一类间断点。如果改成，则0是连续点。例如函数左右侧不连续，故0是第二类间

10、断点。狄里克莱（Dirichlet）函数任何都是函数的第二类间断点。黎曼（Riemann）函数所有五里店都是黎曼函数的连续点；所有有利点都是第一类间断点。1.7 闭区间上连续函数的重要性质函数在闭区间上连续的定义：如果函数在闭区间上有定义，在每一点连续，在点右侧连续，在点左侧连续，那么我们就说函数在闭区间上连续。设，则。设函数在闭区间上连续。如果与异号，那么必定存在一点，使得定理2（介值定理）：如果闭区间的两端点的函数值与不相等，那么在这两点之间函数能够取得介于与之间的任意值。这就是说，如果，那么存在，使得设函数在闭区间上连续，则在闭区间上有界。定理4（最大值与最小值定理）：设函数在闭区间上连

11、续，分别是函数在闭区间上的最大值与最小值，记则存在，使得一致连续定义：设是的一个子集，函数在上有定义，如果对任意，存在，使得只要那么j我们就说函数在上是一致连续的。定理5（一致连续性定理）：如果函数在闭区间连续，那么它在上是一致连续的。1.8 单调函数和反函数集合是一个区间的充分必要条件为：对于任意两个实数，介于和之间的任何实数也一定属于。如果函数在区间上连续，那么也是一个区间。如果函数在区间上单调。则函数在区间上连续的充分必要条件为：反函数定义：设函数在区间上连续，则也是一个区间。如果函数在区间上严格单调，那么是从到的一一对应。这时，对任意，恰好只有一个能使得。我们定义一个函数如下：对任意的

12、，函数值规定为由关系所决定的唯一的。这样定义的函数称为是函数的反函数，记为我们看到，函数及其反函数满足如下关系：设函数在区间上严格单调并且连续，则它的反函数在区间上严格单调并且连续。1.9 指数函数，对数函数和初等函数连续性小结设，则有（1）初等函数在其有定义的范围内是连续的。1.10 无穷小量（无穷大量）的比较，几个重要的极限无穷小量定义：设函数在点的某个去心邻域上有定义，如果那么我们就说是时的无穷小量。无穷大量定义：那么我们就说是时的无穷大量。定义3：设函数和在点的某个去心邻域上有定义，并设在上。我们分别用记号，与表示比值在点邻近的几种状况：（1）表示是时的有界变量，即有界。（2）表示是时的无穷小量，即。我们可以说是比更高阶的无穷小（或者更低阶的无穷大）。（3）表示，与都是相对于一定的极限过程而言的，使用时一定要附加上记号例如：特别的：记号表示在点的某个去心邻域上有界；而记号表示。设