1、解题思路:作ADBC于D在中,B=30 在中,C=45 CD=AD BC=6cm 当时,A与BC相切;当时,A与BC相交;当时,A与BC相离。例2如图,AB为O的直径,C是O上一点,D在AB的延长线上,且DCB=A(1)CD与O相切吗?如果相切,请你加以证明,如果不相切,请说明理由(2)若CD与O相切,且D=30,BD=10,求O的半径 解题思路:(1)要说明CD是否是O的切线,只要说明OC是否垂直于CD,垂足为C,因为C点已在圆上 由已知易得:A=30,又由DCB=A=30得:BC=BD=10 解:(1)CD与O相切 理由:C点在O上(已知) AB是直径 ACB=90,即ACO+OCB=90
2、 A=OCA且DCB=A OCA=DCBOCD=90 综上:CD是O的切线 (2)在RtOCD中,D=30 COD=60A=30BCD=30 BC=BD=10 AB=20,r=10 答:(1)CD是O的切线,(2)O的半径是10三、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即:、是的两条切线平分(证明)四、圆幂定理(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。在中,弦、相交于点, (相似)(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。在中,直径,(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切
3、线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。在中,是切线,是割线(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。在中,、是割线五、三角形的内切圆(1)定义:与三角形三边都相切的圆(角平分线的交点)(2)内心、外切三角形例1:如图,O为ABC的内切圆,C,AO的延长线交BC于点D,AC4,DC1,则O的半径等于()1、如图,ABC=90,O为射线BC上一点,以点O为圆心、BO长为半径作O,当射线BA绕点B按顺时针方向旋转度时与0相切六、圆与圆的位置关系外离(图1) 无交点 ;外切(图2) 有一个交点 ;相交(图3) 有两个交点 ;内切(图4
4、) 有一个交点 ;内含(图5) 无交点 ;例1两个同样大小的肥皂泡黏在一起,其剖面如图1所示(点O,O是圆心),分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线,TP、NP分别为两圆的切线,求TPN的大小 (1) (2)要求TPN,其实就是求OPO的角度,很明显,POO是正三角形,如图2所示PO=OO=POPOO是一个等边三角形OPO=60 又TP与NP分别为两圆的切线,TPO=90,NPO=90 TPN=36029060=120例2如图1所示,O的半径为7cm,点A为O外一点,OA=15cm,求:(1)作A与O外切,并求A的半径是多少? (1) (2)(2)作A与O相内切,并求出此时A的半径(1)作A和
5、O外切,就是作以A为圆心的圆与O的圆心距d=rO+rA;(2)作OA与O相内切,就是作以A为圆心的圆与O的圆心距d=rArO解:如图2所示,(1)作法:以A为圆心,rA=157=8为半径作圆,则A的半径为8cm(2)作法:以A点为圆心,rA=15+7=22为半径作圆,则A的半径为22cm例3如图所示,点A坐标为(0,3),OA半径为1,点B在x轴上 (1)若点B坐标为(4,0),B半径为3,试判断A与B位置关系; (2)若B过M(2,0)且与A相切,求B点坐标答(1)AB=51+3,外离(2)设B(x,0)x2,则AB=,B半径为x+2,设B与A外切,则=x+2+1,当x2时,=x+3,平方化
6、简得:x=0符题意,B(0,0),当x2(舍),设B与A内切,则=x+21,2时,=x+1,得x=42,B(4,0),2时,=x3,得x=0,七、两圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图:垂直平分。、相交于、两点垂直平分八、圆的公切线两圆公切线长的计算公式:(1)公切线长:中,;(2)外公切线长:是半径之差; 内公切线长:是半径之和 。九、圆内正多边形的计算(1)正三角形 在中是正三角形,有关计算在中进行:;(2)正四边形同理,四边形的有关计算在中进行,:(3)正六边形同理,六边形的有关计算在中进行,.基础训练1填表:直线与圆的位置关系图形公共点个数名称圆心到直线的距
7、离d与圆的半径r的关系直线的相交相切相离2若直线a与O交于A,B两点,O到直线a的距离为6,AB=16,则O的半径为_3在ABC中,已知ACB=90,BC=AC=10,以C为圆心,分别以5,5,8为半径作图,那么直线AB与圆的位置关系分别是_,_,_4O的半径是6,点O到直线a的距离为5,则直线a与O的位置关系为( ) A相离 B相切 C相交 D内含5下列判断正确的是( )直线上一点到圆心的距离大于半径,则直线与圆相离;直线上一点到圆心的距离等于半径,则直线与圆相切;直线上一点到圆心的距离小于半径,则直线与圆相交 A B C D6OA平分BOC,P是OA上任一点(O除外),若以P为圆心的P与O
8、C相离,那么P与OB的位置关系是( ) A相离 B相切 C相交 D相交或相切7如图所示,RtABC中,ACB=90,CA=6,CB=8,以C为圆心,r为半径作C,当r为多少时,C与AB相切?8如图,O的半径为3cm,弦AC=4cm,AB=4cm,若以O为圆心,再作一个圆与AC相切,则这个圆的半径为多少?这个圆与AB的位置关系如何?提高训练9如图所示,在直角坐标系中,M的圆心坐标为(m,0),半径为2,如果M与y轴所在直线相切,那么m=_,如果M与y轴所在直线相交,那么m的取值范围是_10如图,ABC中,AB=AC=5cm,BC=8cm,以A为圆心,3cm长为半径的圆与直线BC的位置关系是_11
9、如图,正方形ABCD的边长为2,AC和BD相交于点O,过O作EFAB,交BC于E,交AD于F,则以点B为圆心,长为半径的圆与直线AC,EF,CD的位置关系分别是什么?12已知O的半径为5cm,点O到直线L的距离OP为7cm,如图所示 (1)怎样平移直线L,才能使L与O相切?(2)要使直线L与O相交,应把直线L向上平移多少cm?13如图,RtABC中,C=90,AC=3,AB=5,若以C为圆心,r为半径作圆,那么: (1)当直线AB与C相切时,求r的取值范围; (2)当直线AB与C相离时,求r的取值范围;(3)当直线AB与C相交时,求r的取值范围14在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东
10、30的方向迎着气象站袭来,已知该风暴速度为每小时20千米,风暴周围50千米范围内将受到影响,若该风暴不改变速度与方向,问气象站正南方60千米处的沿海城市B是否会受这次风暴的影响?若不受影响,请说明理由;若受影响,请求出受影响的时间九年级下册直线和圆的位置关系练习题一、选择题:1若OAB=30,OA=10cm,则以O为圆心,6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是()A相交B相切C相离D不能确定2RtABC中,C=90,AB=10,AC=6,以C为圆心作C和AB相切,则C的半径长为()A8B4C96D483O内最长弦长为,直线与O相离,设点O到的距离为,则与的关系是()A=BCD4以三角形的一边长
11、为直径的圆切三角形的另一边,则该三角形为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形5菱形对角线的交点为O,以O为圆心,以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为()6O的半径为6,O的一条弦AB为6,以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是()A相离B相交C相切D不能确定7下列四边形中一定有内切圆的是()A直角梯形B等腰梯形C矩形D菱形8已知ABC的内切圆O与各边相切于D、E、F,那么点O是DEF的()A三条中线交点B三条高的交点 C三条角平分线交点D三条边的垂直平分线的交点9给出下列命题:任一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆;任一个圆一定有一个内接三角形,并且只有
12、一个内接三角形;任一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;任一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形其中真命题共有()A1个B2个C3个D4个二、证明题1如图,已知O中,AB是直径,过B点作O的切线BC,连结CO若ADOC交O于D求证:2已知:如图,同心圆O,大圆的弦AB=CD,且AB是小圆的切线,切点为E求证:CD是小圆的切线3如图,在RtABC中,C=90,AC=5,BC=12,O的半径为3(1)当圆心O与C重合时,O与AB的位置关系怎样?(2)若点O沿CA移动时,当OC为多少时?C与AB相切?4如图,直角梯形ABCD中,A=B=90,ADBC,E为AB上一点,DE平分ADC,CE平分BCD,以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系?5设直线到O的圆心的距离为d,半径为R,并使x22xR=0,试由关于x的一元二次方程根的情况讨论与O的位置关系6如图,AB是O直径,O过AC的中点D,DEBC,垂足为E(1)由这些条件,你能得
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