1、典题精练【例1】已知:如图所示,RtABC中,AB=AC,O为BC的中点,写出点O到ABC的三个顶点A、B、C 的距离的关系(不要求证明)如果点M、N分别在线段AC、AB上移动,且在移动中保持AN=CM.试判断OMN的形状,并证明你的结论.如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动,且在移动中保持AN=CM,试判断中结论是否依然成立,如果是请给出证明1【解析】OA=OB=OC连接OA,OA=OC AN=CMANOCMO ON=OM OMN是等腰直角三角形ONM依然为等腰直角三角形,证明:BAC=90,AB=AC,O为BC中点BAO=OAC=ABC=ACB=45,AO=BO=OC,在ANO和
2、CMO中,ANOCMO(SAS)ON=OM,AON=COM,又COMAOM=90OMN为等腰直角三角形【例2】两个全等的含,角的三角板和三角板,如图所示放置,三点在一条直线上,连接,取的中点,连接,试判断的形状,并说明理由【解析】是等腰直角三角形连接由题意,得为等腰直角三角形.,又是等腰直角三角形【例3】已知:如图,中,是的中点,于,交于,连接求证:1【解析】证法一:如图,过点作于,交于,在和中,证法二:如图,作交的延长线于,【例4】如图,等腰直角中,为内部一点,满足,求证:【解析】补全正方形,连接DP,易证是等边三角形,【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型 在解有关等腰直角三
3、角形中的一些问题,若遇到不易解决或解法比较复杂时,可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形,再利用正方形的一些性质来解,常常可以起到化难为易的效果,从而顺利地求解。例4为求角度的应用,其他应用探究如下:【探究一】证角等【备选1】如图,RtABC中,BAC=90,AB=AC,M为AC中点,连结BM,作ADBM交BC于点D,连结DM,求证:AMB=CMD【解析】作等腰RtABC关于BC对称的等腰RtBFC,延长AD交CF于点N,ANBM,由正方形的性质,可得AN=BM,易证RtABM RtCAN,AMB=CND,CN=AM,M为AC中点,CM=CN,1=2,可证得CMDCND,CND=CMD,AMB
4、=CMD【探究二】判定三角形形状【备选2】如图,RtABC中,BAC= 90,AB=AC,AD=CE,ANBD于点M,延长BD交NE的延长线于点F,试判定DEF的形状【解析】作等腰RtABC关于BC对称的等腰RtBHC,可知四边形ABHC为正方形,延长AN交HC于点K,AKBD,可知AK=BD,易证:RtABDRtCAK,ADB=CKN,CK=AD,AD=EC,CK=CE,易证CKNCEN,CKN=CEN,易证EDF=DEF,DEF为等腰三角形【探究三】利用等积变形求面积【备选3】如图,RtABC中,A=90,AB=AC,D为BC上一点,DEAC,DFAB,且BE=4,CF=3,求S矩形DFA
5、E【解析】作等腰RtABC关于BC的对称的等腰RtGCB,可知四边形ABGC为正方形,分别延长FD、ED交BG、CG于点N、M,可知DN=EB=4,DM=FC=3,由正方形对称性质,可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DMDN=34=12【探究四】求线段长【备选4】如图,ABC中,ADBC于点D,BAC=45,BD=3,CD=2,求AD的长【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的,但解法太繁琐,本题尽管已知条件不是等腰直角三角形,但BAC=45,若分别以AB、AC为对称轴作RtADB的对称直角三角形和RtADC的对称直角三角形,这样就出现两边相等且夹角为90的图形,满足等腰直
6、角三角形的条件,然后再引辅助线使之转化为正方形【解析】以AB为轴作RtADB的对称的RtAEB,再以AC为轴作RtADC的对称的RtAFC可知BE=BD=3,FC=CD=2,延长EB、FC交点G,BAC=45由对称性,可得EAF=90,且AE=AD=AF,易证四边形AFGE为正方形,且边长等于AD,设AD=x,则BG=x3,CG=x2,在RtBCG中,由勾股定理,得,解得x=6,即AD=6【探究五】求最小值【备选5】如图,RtABC中,ACB=90,AC=BC=4,M为AC的中点,P为斜边AB上的动点,求PM+PC的最小值【解析】将原图形通过引辅助线化归为正方形,即作RtACB关于AB对称的R
7、tADB,可知四边形ACBD为正方形,连接CD,可知点C关于AB的对称点D,连接MD交AB于点P,连接CP,则PM+PC的值为最小,最小值为:PM+PC=DM=题型二:三垂直模型常见三垂直模型例题精讲【引例】已知ABBD,EDBD,AB=CD,BC=DE,求证:ACCE;若将CDE沿CB方向平移得到等不同情形, 其余条件不变,试判断ACC1E这一结论是否成立?若成立,给予证明;若不成立,请说明理由. 1【解析】ABBD,EDBD 在与中(SAS),即ACCE 图四种情形中,结论永远成立,证明方法与完全类似,只要证明 ACC1E【例5】正方形中,点、的坐标分别为,点在第一象限求正方形边长及顶点的
8、坐标(计算应用:在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.)2【解析】过点C作CGx轴于G,过B作BEy轴于E,并反向延长交CG于F点、的坐标分别为,BE=8, AE=6,AB=10四边形ABCD是正方形,AB=BC AEBBFCCF=BE=8,BF=AE=6 CG=12 EF=14C(14,12),正方形的边长为10【点评】此题中三垂直模型:【例6】如图所示,在直角梯形中,是的中点, 求证:; 求证:是线段的垂直平分线; 是等腰三角形吗?请说明理由【解析】,是中点,由得:,由等腰三角形的性质,得:即是线段的垂直平分线是等腰三角形,由得:,由得:,是等腰三角形【例7】如图1,ABC是等
9、边三角形,D、E分别是AB、BC上的点,且BD=CE,连接AE、CD相交于点P请你补全图形,并直接写出APD的度数= ;如图2,RtABC中,B=90,M、N分别是AB、BC上的点,且AM=BC、BM=CN,连接AN、CM相交于点P请你猜想APM= ,并写出你的推理过程(2013平谷一模)3【解析】图略,6045作AEAB且.可证 是等腰直角三角形, 又AEC CAN(SAS) ECAN. 思维拓展训练(选讲)训练1.已知:如图,中,AC=BC,是上一点,AEBD的延长线于E,并且,求证:BD平分.4【解析】延长AE交BC的延长线于FBEAF , 在AFC和BDC中,AFCBDC(ASA)AF
10、=BD又BE是AF的中垂线BA=BF BD平分训练2.已知,在正方形ABCD中,E在BD上,DGCE于G,DG交AC于F.求证:OE=OF1【解析】ABCD是正方形OD=OC DGCE 在DOF和COE中,DOFCOE(ASA) OE=OF训练3.已知:如图,中,是的中点,于求证:5【解析】,是的中点AD=BD=CD, ADBC在BDH和ADF中,BDHADF(ASA)DH=DF训练4.如图,已知矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EFEC,且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长6【解析】在RtAEF和RtDEC中, EFCE, FEC=90, A
11、EF+DEC=90,而ECD+DEC=90AEF=ECD 又FAE=EDC=90EF=ECRtAEFRtDCE AE=CD AD=AE+4矩形ABCD的周长为32 cm, 2(AE+AE+4)=32 解得AE=6 cm 复习巩固题型一 等腰直角三角形模型 巩固练习【练习1】如图,ACB、ECD均为等腰直角三角形,则图中与BDC全等的三角形为_.2【解析】AEC【练习2】如图,已知中,是的中点,垂足为,交的延长线于点求证:2【解析】,又,是的中点,即题型二 三垂直模型 巩固练习【练习3】已知:如图,四边形ABCD是矩形(ADAB),点E在BC上,且AE =AD,DFAE,垂足为F请探求DF与AB有何数量关系?写出你所得到的结论并给予证明FADCEB3【解析】经探求,结论是:DF = AB 证明如下:四边形ABCD是矩形, B = , ADBC, DAF = AEB DFAE, AFD = , AE = AD , AB = DF【练习4】如图,中,是上任意一点,交延长线于,于求证:4【解析】根据条件,、都与互余,则,【练习5】四边形ABCD是正方形如图1,点G是BC边上任意一点(不与B、C两点重合),连接
copyright@ 2008-2022 冰豆网网站版权所有
经营许可证编号:鄂ICP备2022015515号-1