第十章 函数项级数Word文档格式.docx

1、.（1） . （2） （3）设 为区间 上的全体有理数所成数列. 令 , （4） , （5） 有 . （ 注意 .） 二. 函数列的一致收敛性:问题: 若在数集D上 . 试问: 通项 的解析性质是否必遗传给极限函数 ? 答案是否定的. 上述例1、例3说明连续性未能遗传,而例3说明可积性未能遗传. 例3说明虽然可积性得到遗传, 但 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛

2、”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义 （ 一致收敛 ） 一致收敛的几何意义. Th1 （一致收敛的Cauchy准则 ） 函数列 在数集D上一致收敛, （ 介绍另一种形式 证 （ 利用式 ） 易见逐点收敛. 设 ,有 . 令 对 D成立, 即 ， D. 推论1 在D上 推论2 设在数集D上 . 若存在数列 D , 使 , 则函数列 在数集D上非一致收敛 . 应用系2 判断函数列 在数集D上非一致收敛时, 常选 为函数 在数集D上的最值点. 验证函数一致收敛性:例4 . 证明函数列 在R内一致收敛. 例5 . 证明在R内 , 但不一致收敛. 证 显然有 在点 处取得极大值

3、 . 由系2 , 不一致收敛. 例6 . 证明在 内 证 易见 而 在 内成立. 由系1 , 例7 对定义在区间 上的函数列 证明:, 但在 上不一致收敛. P3839 例3, 参图13-4. 时, 只要 , 就有 . 因此, 在 上有 .于是, 在 . 但由于 , 因此 , 该函数列在 上不一致收敛. 例8 . 考查函数列 在下列区间上的一致收敛性: ; 例9 考查级数 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 . 该例的结果说明什么问题 ?教学后记： 1 函数项级数的一致收敛性（2）函数项级数一致收敛性。使学生理解函数项级数一致收敛性概念。掌握函数项级数一致收敛性的判断。函数序列一致收敛性的判

4、别方法。P68 1（9）（11），P69 5一. 函数项级数及其一致收敛性:1 函数项级数及其和函数：, 前 项部分和函数列 ，收敛点，收敛域, 和函数, 余项. 例1 定义在 内的函数项级数（ 称为几何级数 ） 的部分和函数列为 , 收敛域为 2. 一致收敛性: 定义一致收敛性. Th2 （ Cauchy准则 ） 级数 在区间D上一致收敛, D成立. 推论 级数 Th3 级数 例2 证明级数 在R内一致收敛 . 证 令 = , 则 时 R成立. 例3 几何级数 在区间 上一致收敛；但在 内非一致收敛. 证 在区间 上 , 有 一致收敛 ;而在区间 内 , 取 , 有 . 非一致收敛. （ 亦

5、可由通项 内非一致收敛于零, 非一致收敛.） 几何级数 虽然在区间 内非一致收敛 , 但在包含于 内的任何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数 内闭一致收敛 . 二. 函数项级数一致收敛判别法:1. M - 判别法:Th 4 （ Weierstrass判别法 ） 设级数 定义在区间D上, 是收敛的正项级数.若当 充分大时, 对 D有| 在D上一致收敛 . 然后用Cauchy准则. 亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数 是级数 的一个优级数. 于是Th 4 可以叙述为: 若级数 在区间D上存在优级数 , 则级数 在区间D上一致收敛

6、 . 应用时, 常可试取 .但应注意, 级数 在区间D上不存在优级数 , 级数 在区间D上非一致收敛. 注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在. 例 3 判断函数项级数 和 在R内的一致收敛性 . 例 4 设 是区间 上的单调函数. 试证明 : 若级数与 都绝对收敛, 则级数 上绝对并一致收敛 . 简证 , 留为作业. . 2. Abel判别法:Th 5 设 上收敛; 对每个 , 数列 单调 ; 函数列 在 上一致有界, 即 , 使对 和 , 有. 则级数 上一致收敛 . （ 1P43 ） 3. Dirichlet判别法:Th 6 设的部分和函数列 上一致有界; 对于

7、每一个 单调; 在区间 上函数列 一致收敛于零. 则级数 上一致收敛 . 例5 判断函数项级数 上的一致收敛性. 解 记 . 则有收敛;；成立. 由Abel判别法, 上一致收敛. 例6 设数列 单调收敛于零 . 试证明 : 在区间证 在 上有可见级数 的部分和函数列在区间 上一致有界 . 取 , . 就有级数 上一致有界, 而函数列 对每一个 单调且一致收敛于零.由Dirichlet判别法,级数 其实 , 在数列 单调收敛于零的条件下, 级数 在不包含 的任何区间上都一致收敛. 习 题 课 例1 设 且 若对每个自然数 有| | 对 成立, 则函数列 在 上一致收敛于函数 例2 证明函数列 上

8、非一致收敛. 例3 . 讨论函数列 的一致收敛性. 解 0, . | 0| . 可求得 函数列 在区间 例4 设函数 上连续 . 定义 . 试证明函数列 上一致收敛于零. 证法一 由 有界 . 设在区间 上| . | ; 注意到对 0, 证法二 有界. 设在区间 . 把函数 在点展开成具Lagrange型余项的 阶Taylor公式 , 注意到就有 所以 , 例5 设 . 令 ,. .试证明: 若对 , 则函数列 证 对 取 , 使 时, 有 . 于是对任何自然数 和由Cauchy收敛准则 , 函数列 例6 设在数集 上函数列 一致收敛于函数 . 若每个 在数集 上有界 , 则函数列 在数集 上一致有界 . 证 （ 先证函数 上有界 ） 设在 上有| ,由函数列 上一致收敛, ,当 时 , 对 ,有 | |. 即函数 上有界. （ 次证函数列 上一致有界 ） 时, 对 ,有 | 易见对 有| . 即函数列 2 一致收敛级数的判别与性质（1）函数项级数的一致收敛的