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1、一=乌拉勃，二=阿柯扎他们把三表为：阿柯扎乌拉勃那么：阿柯扎阿柯扎？阿柯扎阿柯扎乌拉勃?阿柯扎阿柯扎阿柯扎=?,“0”不是印度人或阿拉伯人的发明,“0”太重要了，一无所有为零零是自然数据考证“0”首次出现在柬埔寨苏门答腊的碑文上进位制是人类共同财产,位值制：,11236635中的3代表多少？拉普拉斯（法国数学家，17491827）说“用十个记号来表示一切数，每个数不但有绝对的值，而且还有位置的值，这种出自印度的巧妙方法，是一个深远而重要的思想。今天看来是如此简单，以至于我们忽视了它的真正伟绩，但恰恰是它的简单性对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位。而当我们想到

2、它竟然逃过了古代最伟大的阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大。”,自然数与整数的诞生,分数与小数的诞生小数点的诞生是后来很久以后的事了，公元635年，3.1415927记成三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽公元1593年由德国克拉维斯给出，现代记法诞生。,负数的诞生：中国西汉出现（元前200年），用赤筹表示。欧洲15才世纪出现,四大文明古国：中国,公元前二十七世纪黄帝时代就开始了数学研究数学发达至少有4000年成就：分数、正负数、勾股定理、圆周率、剩余定理、杨辉三角等等由于中国文字的限制，数学理论的表叙以及推导都极为困难，导致数学理论在中国发展受到制约中国长期重文轻理导

3、致数学以及科学的落后政治原因，农业大国,四大文明古国：印度,印度有3500至4000年最大成就是印度数码，十进制五世纪后“零”的符号在印度出现与占星术，宗教，农业关系密切方法与结果用树皮树叶记载，大多失散用晦涩的诗歌表述，难于理解知道勾股定理，三角学并计算出,四大文明古国：埃及,光辉灿烂的文明影响较大的：金字塔，纸草书，古文字尼罗河贯穿全景治理尼罗河河水泛滥，他们研究天文发现：河水上涨与清晨天狼星升起的日子一样，间隔365天，确立现代公历的基础重新测定河岸的土地，几何特别发达没有上升为理论，直到公元前4世纪后，希腊人入侵为止,四大文明古国：巴比伦,数学泥板的发现上面有：帐单，收据，票据，大量数

4、学用表，达到古代数学的最高的理论水平1847年开始解读数学泥板，1920年才有详尽的注解，巴比伦文明被世人了解60位进制，面积体积的计算，方程组的求解，级数求和，勾股数，二次方程,四大文明古国与河流,中国：黄河，长江埃及：尼罗河巴比伦：底格里斯河，幼发拉底河印度：恒河，印度河,其他发达古国,希腊从公元前6世纪至公元4世纪，达1000年阿拉伯数学发达仅限于8至13世纪，有500年欧洲国家数学发达是在10世纪以后的事日本则迟至17世纪以后。,无理数的出现与第一次数学危机,无理数就像岔路口的路标，沿不同方向均可发现它的存在。中国沿一个方向来到它的面前竟然视而不见古希腊沿另外一个方向来到它的面前却有意

5、躲避,中国与无理数,九章算术第四章说“若开之不尽者，为不可开，当以面命之”我们不知“当以面命之”所云为何，但可以确定，那时中国人一来到这个路标下了。刘徽在计算平方根的近似值时离无限不循环已近在咫尺，但他说“不足言之”竟然放弃了。“重算法轻算理”是中国古代的风气使中国与无理数失之交臂，令人惋惜。,古希腊与无理数,学派众多，最有名的是毕达哥拉斯学派（元前580元前500）柏拉图学派（元前430元前349）毕达哥拉斯学派是兼有政治，宗教，哲学的团体，“万物皆数”（读三声）为其哲学基础和理论出发点。毕氏提出了著名的毕达哥拉斯定理。,伟大的毕达哥拉斯,毕达哥拉斯：古希腊数学家，公元前580至公元前497

6、，青年的他游历许多地方，并到埃及印度留学。他深入民间收集点点滴滴的数学知识，最后学有所成并形成一个学派，史称毕达哥拉斯学派，对数学，天文学有巨大贡献。毕达哥拉斯学派认为任何数都可以表达成二个整数的商，即任意数都是可以度量的。,万物皆数,他们把线段的长度看作是线段锁包含的原子数目，因而任意两条线段长度之比就是它们各自原子数之比。由此观点出发，毕氏研究了音乐美术天文地理。应用在数学上，从埃及的黄金三角形（各边之比为3：4：5）发现5：12：13，8：15：17，这就是中国说的“勾股定理”它们只相信直角三角形的三边之比都应该是整数比,毕氏的学生、学者希帕索斯发现直角三角形直角边都取1，则斜边就不可度

7、量，与毕氏理论产生矛盾毕氏也发现不可通约量的存在学派进入两难境地，学派内部所有成员立誓保密，因而无理数有个诨号“不可说”（Alogon）希帕索斯说了，学派就此开始瓦解。学派解决矛盾的方法是把希帕索斯抛进大海。希帕索斯的发现引发了第一次数学危机。,大约公元前世纪，不可通约量的发现 毕达哥拉斯悖论,无理数：古代数学家前进的方向,欧道克斯（希腊，元前408前355）数与量的分离：连续与离散。存在与否困扰科学家哲学家在迷雾中度过漫长而黑暗的中世纪，迎来“文艺复兴”的繁荣时期（公元14001600）无理数终于被人们慢慢接受疑惑仍然存在“即乐意又心存疑虑”直到19世纪实数理论的建立才完全消除,谁推开了虚数

8、的“大门”,12世纪，印度数学家婆什伽罗说：“正数的平方是正数，负数的平方是正数，因此一个正数的平方根是两个，一个正数，一个负数。负数没有平方根”。他太肯定了！“负数没有平方根”遏制了后人的探索欲望。400年来，数学家都采取了回避态度。1545年卡丹的 让人莫名其妙（后面专门谈他）,大师的困惑与无知,卡丹（意大利数学家，医生，算命先生15011576）到达大门，不敢敲门。欧拉彻底否认：他说“一切形如 的数学式都是不可能有的，这类数 纯属虚构”伟大的笛卡儿（法国数学家，15961650）创立直角坐标系，给出理论武器。200年后即18世纪，挪威的测绘员威赛尔，巴黎的会计师阿尔干完美解释。,从一维到

9、二维,600年的艰辛众多杰出数学家束手无策，历史罕见思维定势所限：现实中没有，传统数学中它不合理条件所限：不能从一维跳到二维，笛卡儿还未出生，平面坐标不知为何物，费尔玛无人认识，点的坐标，有序对是天方夜谈，解析几何还在数学的摇篮中睡觉,第二章：几何学代数学的发展,先有几何还是先有代数？一个领域的繁荣昌盛不外乎下列几个原因：1有重大理论问题出现。2有现实问题急需解决。3出现伟大人物。代数与几何都有非常辉煌的时光。代数必讲数论及方程，几何必讲欧几里德德原本。几何狂飚：突破欧几里德几何，非欧几何。,数论与方程：第二次抽象,数的崇拜与禁忌：“1生2，2生3，3生万物”所以1最神圣，7，8为吉祥数。4，

10、13为一些民族的禁忌中国人崇拜“9”：故宫大门纵横九颗铜星，皇帝九龙袍，九龙壁，“九九归一，侄极而返”“60”是古巴比伦人与毕达哥拉斯心中的神数的文化：奇为女，偶为男，“一帆风顺，双喜临门，三阳开泰，四通八达，五彩缤纷，六根清洁，八面玲珑，九霄云外，十全十美”“一波三折，两败俱伤，三长两短，四面楚歌，五内俱焚，六神无主，七上八下，九死一生，十恶不赦”,数论与方程：第二次抽象,整除理论：最古老的问题，中国剩余定理地道的业余数学家费尔玛：从地方官员到数学家，30岁学习数学，既是解析几何的发明者（与笛卡儿同享）又是概率论的开创者（与帕斯卡同享），不同寻常的经历，不可思议，令人感慨万千费马玛（法国数学

11、家，1601-1665）与数论：看起来简单，作起来难之又难，是数论的魅力所在，使人“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”，始作俑者费尔玛。现代数论的先驱创始人,费尔玛猜想,丢番图（古希腊公元246330）名著算术，代数学之母算术是费尔玛的枕边之物从17世纪到20世纪，历时300多年，直到1994，41岁得英国数学家怀尔斯解决,高斯（德国数学家，17771855）与数论,现代数论统一理论的创建者20岁决定献身数学，最终成为最伟大的数学家之一1801年结束费尔玛数论，开创纯理论数论研究追随者：戴德金，狄利克雷，刘维尔，闵可夫斯基，创建：代数数论，解析数论，超越数论，几何数论,哥德巴赫猜想与陈景润,17

12、42年，德国哥德巴赫老师发现“大于2的偶数，可以表示为两个素数之和”求教欧拉：欧拉说“虽然我不能证明它，但我确信它完全正确”1900年希尔伯特（德国数学家，18621943）把它列为23个世纪难题，称为“皇冠上的明珠”1966年中国人陈景润（19331996）证明“12”，1973年发表，离摘取明珠咫尺之遥陈氏定理被誉为“光辉顶点”,方程的历史,方程的产生：在中国，在日本，在印度花拉子模（阿拉伯人，公元780850）第一次给出未知量，但他称其为“硬币”“东西”“根”代数“Algebra”源于花氏的书中“还原”一词古希腊的不定方程，丢番图，费尔玛与不定方程印度的不定方程，追求全部整数解，他们的

13、阿耶波多，婆罗摩岌多，婆什伽罗都有著述,方程的发展,符号化：从丢番图开始到1589年的韦达从一元到二元：古希腊数学家海伦的著作，中国九章算术均有记述海伦：有一正方形知其面积与周长之和为896尺，求其一边九章算术：今有邑城方不知大小，各开中门。出北门20步有木，出南门14步折而西行1775见木。问邑方几何？,符号化的形式,一元二次方程的解法,花拉子模的几何解法中国的“开带从平方法”古希腊的配方法：公元100年海伦200年丢番图完成佛兰西斯韦达（法国数学家，法学家，外交家，国王参谋长，15401603）：根与系数的关系,一元三次方程的公式解,人们寻找象一元二次方程那样的公式解当时认为它比圆化方还难

14、16世纪，意大利的波罗拉学派的弗罗（14651562）得出 的解。但是未公布30岁的尼科拉方丹纳（意大利布雷西亚青年，15001557）绰号“塔塔利亚”（结巴）：给出一元三次方程的公式解,数学史上第一次数学竞赛,塔塔利亚解决的问题：他未公布答案，引来波罗拉学派的愤怒塔塔利亚与波罗拉决定举行竞赛，塔塔利亚胜出，这是有史记载的第一次数学竞赛,塔塔利亚，卡丹，费拉里的恩恩怨怨,卡丹：（雄辩家，博物学家，几何家，代数家，天文学家，星象学家，医学家，外科专家，道学家，语言学家）拜倒在塔塔利亚面前1539年求教与塔氏,并同意保密，得到手稿卡丹的仆人费拉里的成就：一元四次方程的解法1545年卡丹发表大衍术（

15、Ars Magna）公开塔氏费氏成果，引发数学史的第一次公案事情远未结束：五次以及五次以上的方程呢？,初等几何,起源：无意识的几何阶段，埃及金字塔（元前2900），尼罗河岸边的土地界限丈量几何的发展：经验几何的产生，中国埃及巴比伦印度论证几何的哲学基础的出现：公理及严谨的逻辑推理，古希腊哲学的发展让严谨深深扎根于心灵深处。,数学圣经几何原本（Elements）,欧几里德（希腊数学家，元前330前275）的几何原本堪称集合论证的光辉典范，影响曾经可比圣经1607年明朝翻译到中国在全世界使用至今原本共13篇，包罗初等几何，初等数论，几何代数所有初等几何的书都是抄录原本或者是抄录那些抄录原本的书的书,几何度量（面积体积）,欧道克斯的变量，绕开无理数使丈量得以进行多边形的面