1、(x2,kx2m1)(k21)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)20,(k21)k(m1)(m1)20,整理,得5m22m30,解得m或m1(舍去)直线l的方程为ykx易知当直线l的斜率不存在时,不符合题意故直线l过定点,且该定点的坐标为圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点(2)特殊到一般法,根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关题组训练1.如图,已知直线l:ykx1(k0)关于直线yx1对称的直线为l1,直线l,l1与椭圆E:y21分别交于点A,M和A,N,记直线l1的斜率
2、为k1.(1)求kk1的值;(2)当k变化时,试问直线MN是否恒过定点?若恒过定点,求出该定点坐标;若不恒过定点,请说明理由解:(1)设直线l上任意一点P(x,y)关于直线yx1对称的点为P0(x0,y0),直线l与直线l1的交点为(0,1),l:ykx1,l1:yk1x1,k,k1,由1,得yy0xx02,由1,得yy0x0x, 由得kk11.(2)由得(4k21)x28kx0,设M(xM,yM),N(xN,yN),xM,yM同理可得xN,yNkMN,直线MN:yyMkMN(xxM),即y即yx.当k变化时,直线MN过定点例2(2019沈阳模拟)已知椭圆C:1(ab0)的焦点为F1,F2,离
3、心率为,点P为其上一动点,且三角形PF1F2的面积最大值为,O为坐标原点(1)求椭圆C的方程;(2)若点M,N为C上的两个动点,求常数m,使m时,点O到直线MN的距离为定值,求这个定值解(1)当点P位于短轴的端点时,PF1F2的面积最大,即2cb则有解得所以椭圆C的方程为(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2y1y2m,当直线MN的斜率存在时,设其方程为ykxn,则点O到直线MN的距离d ,联立消去y,得(4k23)x28knx4n2120, 由0得4k2n230,则x1x2,所以x1x2(kx1n)(kx2n)(k21)x1x2kn(x1x2)n2m,整理得12.因为d 为常
4、数,则m0,d ,此时12满足0.当MNx轴时,由m0得kOM1,联立消去y,得x2点O到直线MN的距离d|x|亦成立综上可知,当m0时,点O到直线MN的距离为定值,这个定值是圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点:待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值(2)两大解法:从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;引起变量法:其解题流程为2(2019昆明调研)已知椭圆C:1(ab0)的焦距为4,P是椭圆C上的点(2)O为坐标原点,A,B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点,设,证明:直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值(1)由题意知2c4,即c2,则椭圆C的方程为1,因为点P在椭圆C上
5、,所以1,解得a25或a2(舍去),设A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2且x1x20,得D(x1x2,y1y2),所以直线AB的斜率kAB,直线OD的斜率kOD得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0,即所以kABkOD.故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值考点二最值、范围问题例1(2018南昌模拟)已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,y1y24.(1)求抛物线C的方程;(2)如图,点B在准线l上的正投影为E,D是C上一点,且ADEF,求ABD面积的最小值及此时直线AD的方程解(1)依题意知
6、F,当直线AB的斜率不存在时,y1y2p24,解得p2.当直线AB的斜率存在时,设lAB:yk(k0),消去x并整理,得y2yp20,则y1y2p2,由y1y24,得p24,解得p2.综上所述,抛物线C的方程为y24x.(2)设D(x0,y0),B,则E(1,t),又由y1y24,可得A因为kEF,ADEF,所以kAD则直线lAD的方程为y,化简得2xty4消去x并整理,得y22ty80,(2t)244t2320恒成立,所以y1y02t,y1y08于是|AD|y1y0| 设点B到直线AD的距离为d,则d所以SABD|AD|d16,当且仅当t416,即t2时取等号,即ABD面积的最小值为16.当
7、t2时,直线AD的方程为xy30;当t2时,直线AD的方程为xy30.圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解1(2018安康质检)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1和F2,由M(a,b),N(a,b),F2和F1这4个点构成了一个高为,面积为3的等腰梯形(1)求椭圆的方程;(2)过点F1的直线和椭圆交于A,B两点,求F2AB面积的最大值(1)由已知条件
8、,得b,且3,ac3.又a2c23,a2,c1,椭圆的方程为(2)显然,直线的斜率不能为0,设直线的方程为xmy1,A(x1,y1),B(x2,y2)联立方程,得消去x得,(3m24)y26my90.直线过椭圆内的点,无论m为何值,直线和椭圆总相交y1y2,y1y2|F1F2|y1y2|y1y2|12 4令tm211,设f(t)t,易知t时,函数f(t)单调递减,t时,函数f(t)单调递增,当tm211,即m0时,f(t)取得最小值,f(t)min,此时,取得最大值3.合肥模拟)已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,且以原点为圆心,椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin ycos 10相切(为常数)
9、(2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作直线l与椭圆交于M,N两点,求的取值范围解(1)由题意,得故椭圆C的标准方程为(2)由(1)得F1(1,0),F2(1,0)若直线l的斜率不存在,则直线lx轴,直线l的方程为x1,不妨记M,N,故若直线l的斜率存在,设直线l的方程为yk(x1),由消去y得,(12k2)x24k2x2k220,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2. (x11,y1),(x21,y2),则(x11)(x21)y1y2(x11)(x21)k(x11)k(x21)(1k2)x1x2(1k2)(x1x2)1k2,结合可得1k2由k20可得.综上可知,的取值
10、范围是解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围惠州调研)如图,椭圆C:1(ab0)的右顶点为A(2,0),左、右焦点分别为F1,F2,过点A且斜率为的直线与y轴交于点P,与椭圆交于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为点F1.(2)过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M,N两点(|PM|PN|),若SPAMSPBN,求实数的取值范围(1)因为BF1x轴,所以点B,所以所以椭圆C的标准方程是(2)因为(2),所以由(1)可知P(0,1),设直线MN的方程为ykx1,M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程,得化简得,(4k23)x28kx80.得(*)又(x1,y11),(x2,y21),有x1x2,将x1x2代入(*)可得,.因为k(1,4),则14且2,解得442.综上所述,实数的取值范围为(4,42)考点三证明、
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