不等式常见考试题型总结Word文档下载推荐.docx

1、4 y 4x - 5技巧二：凑系数例.当L 时，求y = （8 -2x）的最大值。技巧三：分离22 +7x +10例.求y = （ . -1）的值域。X +1技巧四：换元例.求、上 12（ , .1）的值域。x+1技巧五：函数的单调性af（X）= X 的单调性。）X求函数技巧六：整体代换（多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。19（1）已知X 0, y 0 ,且 1 ,求X y的最小值。X y（2）若X, y R 且 2y=1 ,求丄.丄的最小值已知a,b,X, y R且 =I ,求x，y的最小值技巧七、利用Sin2鳥ACoS2 = 1转换式子2技巧八、已知X,

2、y为正实数，且X 2 + +y = 1,求X 1 + y2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ba2+b2ab技巧九：已知a,12，X 2+ JX 2X . 1 + y22 X- .即 X 1 + y 2 = 2 X+ b为正实数，2b+ ab+ a= 30,求函数y= Ob的最小值.（注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题 ，再用单调性或基本不等式求解二是直接用基本不等式。1.已知 a0, b0, ab （a + b） = 1,求 a + b 的最小值。2.若直角三角形周长

3、为 1,求它的面积最大值。技巧十：取平方例、已知x, y为正实数，3x+ 2y= 10,求函数 W= . 3x + , 2y的最值. （5）证明不等式常用方法：比较法、分析法、综合法和放缩法。基本不等式一最值求法的题型基础题型一：指数类最值的求法1.已知a 3 ,求3a 3b的最小值。变式1.已知a 2b =3 ,求3a 9b的最小值。变式2.已知X 一 y =2 ,求3x 的最小值。3y变式3.已知X -2y 3 ,求2x -y的最小值。4y11变式4.已知点（x, y）在直线y=1-1上，求3x 的最小值。29y基础题型二：对数类最值的求法2.已知 X 0, y 0 ,且 2x y = 4

4、 ,求 log2 x log2 y 的最大值。变式1.已知X 0, y 0 ,且X 2 y = 4 ,求log 1 x log I 3y的最小值。22变式2.已知点（X, y）是圆X2 y2 =6在第一象限内的任一点，求log3 X log 3 y的最大值。能力题型一：常数变形（加或减去某个常数使两个因式的积为常数）1.已知X 2,求f（x）=1 的最小值。X -2变式1.已知X 3,求f （X） =2x -3 的最小值。x2变式2.已知X ：1,求f（x2 的最大值。X -1能力题型二：代换变形（把整式乘到分式中去以便于用基本不等式）2 11.已知X 0, y 0,且2y=1 ,求 的最小值

5、。2 32.变式1.已知X 0, y 0 ,且2x y =3 ,求 的最小值。12： 0, y 0,且X 3 -2 ,求丄上的最大值。能力题型三：指数与系数的变形（调整字母的系数和指数）1.已知X 0, y 0,且2x2 y1 ,求X, 1 2y2的最大值。变式1.已知X 0, y 0 ,且X2 2y2 =3 ,求2x.V y2的最大值。变式2.已知a 0,b 0,且a2 b2 = 3 ,求a 1 2b2的最小值能力题型四：对勾函数及其应用【对勾函数】y=-,由X =得顶点的横坐标为X= 1X Xy = a b,由ax = b得顶点的横坐标为y =ax + =a（x -1） +a ,由 a（x

6、 -1） = 得顶点的横坐标为 X = 1 -X -1 X -1 X -1 V a例1.求y = （X . 1,4）的值域。变式 1.求 y= （x-2,-1）的值域。、 、 2变式2.求y =3x （x 2,4）的值域。例2.求y=丄（x_2）的值域。变式1.求y = 2x （X _ 3）的值域。X 2x1（X乞-2）的值域。4 Tl例3.求y = sin X （O-X ）的值域。Sin X 2变式1.求y =Sin X4Sin X -1（O乞X空二）的值域。变式2.求y = CoSXcosx 1基本不等式例题例1. 已知 11,且,求 二.L 的最小值及相应的】J值.XtytZeEtX-2

7、y+3z = Of-例2. 唸的最小值为 。仗+掰例3已知:- 1 ,二成等差数列，二八成等比数列，则 J 的最小值是（）例4函数二I-的图象恒过定点 ，若点在直线：:二 门- X ,上，则1 1+ _m H的最小值为 .-J +例5.若二-，则：的最小值是（）例6 .下列各函数中，最小值为 2的是（） _ F + 2：一 B. J- C5 1例7 （1）已知X ,求函数y =4x - 2 的最大值.44x -52 4 2 2（2）求函数y = - 的最小值求y二4X - 的最大值.X +1 X +2练习设则的最大值为例8.已知，且- -V 二.求二二C的最大值及相应的：的值例9若X，y是正数

8、，则（X ）2 （y ）2的最小值是2y 2x练习：已知实数X，y满足X+y 仁0,则X2+y2的最小值例10.若实数a、b满足a+b=2 ,是3a+3b的最小值是基本不等式证明例已知a, b为正数，求证: N a+ I ill :实际应用：某单位用木材制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为X y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要使框架围成的总面积为 8m2 ,问Xy分别为多少时用料最省?.基本不等式基本不等式应用1.（ 1） 若 a,b R ,则 a2 b2 _ 2ab 2 2若a,b R ,则 ab 2即 X十丄启2或X +1兰-2 （当且仅当a = b时取“=） XXX3.

9、若ab 0 ,则a b _2 （当且仅当a =b时取“=”）b a a b （当且仅当a = b时取“=”） _ 2若ab0 , U巳+二兰2即-+-工2或-+- -2 （当且仅当a = b时取“=”）4.若 a,b R ,则（Lb）2注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2） 求最值的条件“一正，二定，三取等”比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.（3） 均值定理在求最值、应用一：求最值例1 :求下列函数的值域（I） y= 3x + 27 y=x+ X解：（

10、1） y = 3x 2 + 2x2 2 . 3x2步=V6 值域为丽,+ ）（2 ）当 0时，y=X+X 2Qx 1=2;当 XV 0 时， y= x+ - =（因4x-5：0 ,所以首先要“调整”符号，又（4x-2不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑项,x_ ） 2 X _ = 2XJ ; X值域为（一, 2 U 2 , + ）解题技巧：5A,求函数 y =4x - 2 的取大值。4 4x 5t 5 II 1X , 5 4x 0, . y =4x -2 5 -4X4 4x -5 I 5-4x J当且仅当5-4X -,即x=1时，上式等号成立，故当 x=1时，ymax = 1。5 -4X评注：

11、本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。例1.当-一时，求y = x（8 -2x）的最大值。解析：由L - -知，丨二：二一，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子 积的形式，但其和不是定值。 注意到2x （8 2x） =8为定值，故只需将y =x（8 2x）凑上一个系数即可。 = xC8-2x） = 12x* （3-2x）U（2x+x）3=8当.- = -：,即X= 2时取等号 当X= 2时，y=x（8-2x）的最大值为8。本题无法直接运用基本不等式求解， 但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。3变式：设0 ： X ,求函数y =4x（3 - 2x）的最大值。” 3 0 ：