直角三角形和勾股定理Word格式.docx

1、【教学知识要点】 1. 直角三角形的性质： （1）在直角三角形中，有一个角为90。 （2）在直角三角形中，两锐角互余。 （3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 （4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （5）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30 2. 直角三角形的判定： （1）有一个角为90的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 3. 直角三角形全等的判定方法： （1）SAS定理 （2）ASA定理 （3）AAS定理 （4）SSS定理 （5）HL定理（或简写成“斜边直角边”）： 有

2、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4. 定理： 到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 5. 勾股定理： 直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，即a2b2c2。 6. 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。【几点说明】 1. HL定理是判定直角三角形全等独有的方法，因此在应用这一性质时，必须点明“在Rt和Rt”中。 2. 直角三角形是特殊三角形，除具有特殊性外，还具有一般性，所以一般三角形全等的四种判定方法也适用于直角三角形，因此判定两个直角三角形全等的方法有五种：SAS、ASA、AAS、SSS

3、、HL，其中HL是直角三角形所特有的。 3. 定理“角平分线上的点，到这个角的两边距离相等”与定理“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”，二者是互逆定理，前者是角平分线的性质定理，后者是角平分线的判定定理。 4. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 5. 勾股定理与勾股定理的逆定理是一对互逆定理，前者是直角三角形的性质定理，后者是直角三角形的判定定理。 6. 勾股定理的逆定理把数的特征（a2b2c2）转化为形的特征（三角形有一个角为直角），因此逆定理的作用是提供了一个判定三角形是不是

4、直角三角形的方法，它与前面讲的判定方法不同，它需要通过代数运算“算”出来。【典型例题】基础知识题 例1. 如图甲，在ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PRAB，PSAC，垂足分别为R、S，若AQPQ，PRPS，则这三个结论中正确的是（ ） （1）ASAR （2）QPAR （3）BRPCSP A. （1）和（2） B. （2）和（3） C. （1）和（3） D. （1）（2）和（3） 分析：几何中添加辅助线的实质是把不完整的基本图形补充完整，即构造基本图形，此题的切入点是从图中识别如图乙、丙、丁基本图形，并且联想有关定理，通过分解图，然后重组，问题便得到解决。 由乙图中角平分线性质定理的

5、逆定理有12，且由HL知RtPARRtPAS，有ARAS，故（1）成立。 由丙图中，等腰三角形性质23，又由乙中知：12，13，推出QPAR，故（2）成立。 由丁图中，寻找判定直角三角形的条件有PRPS，虽然P在BAC的角平分线上，但PB不一定等于PC，即PBR不一定全等于PCS，所以（3）不成立。 解：由上述分析可得，此题应选A。 说明：观察、分解、重组、构造是研究几何的基本方法，此题还体现了转化、化归思想。 例2. 如图甲，已知：BC90，M是BC的中点，DM平分ADC，试说明：AM平分DAB。要说明AM平分DAB，即说明34，借助于三角形全等的性质，需构造全等三角形，考虑到B90，需构造

6、一个直角三角形，因此，过点M作MEAD于E，也可延长DM交AB的延长线于N。 解法1：如甲图，过点M作MEAD于E DEMAEM90 在MCD和MED中 MCDMED（AAS） MEMC（全等三角形的对应边相等） M是BC的中点 CMBM MEBM 在RtMEA和RtMBA中 RtMEARtMBA（HL） 34（全等三角形的对应角相等） AM平分DAB 解法2：如乙图，延长DM交AB的延长线于点N 在RtDMC与RtNMB中 RtDMCRtNMB（ASA） DMNM 1N（全等三角形的对应角相等，对应边相等） 又DM平分ADC 12 2N ADN是等腰三角形 又DMNM AM是DAN的角平分线

7、 例3. 已知：如图，ABC中，ABAC，BDAC于D，D在AC上，若CD1，CD2BD2AC，求：AB的长。但要想求出AB，必须先设法求出AD、BD或找到AD、BD与AB的关系，注意到ACAB，则ADACCDAB1，只需再找出BD与AB的关系，这就必须从条件CD2BD2AC得来。ABAC，CD1 BDAC（1）利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的重要作用，在有垂直条件时，经常考虑到利用勾股定理去解。 （2）勾股定理反映的是三个量之间的关系，如果已知一个量，要设法求出另外一个量，或求出另外两个量之间的关系，才能求出第三个量，实质就是方程思想。 （3）在已知中没有垂直，或有垂直但与问题相距“较

8、远时”，常需适当作辅助线，构造直角三角形，创造条件来利用勾股定理。能力提高题 例4. 如图，ABC中，ACB90，ACBC，直线MN过C点，ANMN于N，BMMN于N，那么MN与ANBM有什么关系？为什么？请说明理由。 分析：利用度量的方法可以猜出结论MNANBM，如何说明呢？可将MN拆成MC和CN，分别说明MCAN，CNBM即可，即要说明BMCCNA，已知MN90，ACBC，两个条件只要再找出一个即可。结论：MNANBM 理由： 13（同角的余角相等） ANNM，BMMN MN90 在BMC和CNA中 BMCCNA（AAS） BMCN，MCAN（全等三角形对应边相等） MNMCCN MNAN

9、BM 说明：（1）当题目中的直角条件较多时，常用“同角或等角的余角相等”来说明角相等。 （2）在说明两条线段之和等于第三条线段时，常将较长的线段拆成两条线段的和，再分别说明拆成的两条线段与要说明的两条线段对应相等。 例5. 已知：a、b、c为ABC的三边长，且a2b22c250710a24b52c，试判定ABC的形状。由条件a2b22c250710a24b52c联想到配方，运用非负数性质，求得a、b、c的值。 C90 故ABC是直角三角形本题将代数与几何融为一体，不妨细细体味其中的技巧。创新应用题 例6. 如图，在一张长48dm，宽10dm的长方形纸片长边竖直放一平面镜，一束光线从纸片顶点A处

10、射入，恰好由O点反射后经过B点，求光线在纸片上通过的距离。在物理中的光学知识中，平面镜成像，凸透镜成像中的线路图不仅包含对称，而且有时也包含直角三角形，对有些题目也能用勾股定理解答。作点A关于CD的对称点A，连接AB，交CD于O点，则O点就是光的反射点。 AODBOC（AAS） OB26dm AA两点关于直线CD对称本题是以光的反射为背景的一道综合题，涉及丰富的几何知识，由此可见，数学是物理的基础。【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 填空题。 1. 在ABC中，若A35，B55，则此三角形为_三角形。 2. 在ABC中，A：B：C1：2：3，若AB10cm，BC的长是_。 3. 如图，在A

11、BC中，A30，ACB90，CDAB于D，若BC3，则AB_，BD_。 4. 在RtABC中，C90，若a：b3：4，c10，则a_，b_。 5. 在ABC中，三边长分别为，则_。 6. 在ABC中，则ABC是_三角形。 7. 在一个三角形中，若一边上的中点到另两边距离相等，则该三角形是_三角形。 8. 如图，在ABC中，AB2AC，BAC2B，AE平分BAC，则C的度数是_。二. 选择题。 1. 在判定三角形全等的三个条件中，至少要有（ ） A. 一个角对应相等 B. 两个角对应相等 C. 一条边对应相等 D. 两条边对应相等 2. 下列命题中，真命题的个数是（ ） （1）有一个角为45的两个直角三角形全等 （2）斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等 （3）有一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形全等 （4）有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 等边三角形一边上的高与边长的比为（ ） A. B. C. D. 1：2 4. 下列数组中，不是勾股数组的是（ ） B. C. D. 5. 如图，将两个全等的有一个角等于30的直角三角形拼在一起，其中两条长直角边在同一直线上，则图中有（ ）个等腰三角形。 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 5个三. 有一次，小