高考学年数学高考二轮复习专题三第2讲数列的求和及综合应用案文科文档格式.docx

1、12.（2017山东卷）已知an是各项均为正数的等比数列，且a1a26，a1a2a3.（1）求数列an的通项公式；（2）bn为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n1bnbn1，求数列的前n项和Tn.解（1）设an的公比为q，由题意知a1（1q）6，aqa1q2，又an0，解得a12，q2，所以an2n.（2）由题意知：S2n1（2n1）bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，则cn因此Tnc1c2cn又Tn两式相减得所以Tn5考 点 整 合1.数列求和（1）分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以

2、求和的部分，分别求和，然后再合并.（2）错位相减法：主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列.（3）裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中an是各项均不为零的等差数列，c为常数）的数列.温馨提醒（1）裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.（2）an忽略n2的限定，忘记第一项单独求解与检验.2.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用

3、数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.热点一数列的求和问题命题角度1分组转化求和【例11】 （2017郑州质检）已知数列an的前n项和Sn，nN*.（2）设bn2an（1）nan，求数列bn的前2n项和.解（1）当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n.而a1也满足ann，故数列an的通项公式为ann.（2）由（1）知ann，故bn2n（1）nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n（212222n）（12342n）.记A212222n，B12342n，则A22n12，B（12）（34）（2n1）2n

4、n.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.探究提高1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.2.分组求和的策略：（1）根据等差、等比数列分组；（2）根据正号、负号分组.命题角度2裂项相消法求和【例12】 （2015全国卷）Sn为数列an的前n项和.已知an0，a2an4Sn3.（2）设bn，求数列bn的前n项和.解（1）由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.两式相减可得aa2（an1an）4an1，即2（an1an）a（an1an）

5、（an1an）.由于an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11（舍去），a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.（2）由an2n1可知bn设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn 探究提高1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.【训练1】 （2017昆明诊断）已知等比数列an的各项均为正数，且a12a25，4aa2a6.（2）若数列bn满足b12，且bn1bnan，求数列bn的通项公

6、式；（3）设cn，求数列cn的前n项和为Tn.解（1）设等比数列an的公比为q，由4aa2a6得4aa所以q24，由条件可知q0，故q2，由a12a25得a12a1q5，所以a11，故数列an的通项公式为an2n1.（2）由bn1bnan得bn1bn2n1，故b2b120，b3b221，bnbn12n2，以上n1个等式相加得bnb11212n22n11，由b12，所以bn2n11.（3）cn所以Tnc1c2cn命题角度3错位相减求和【例13】 （2017天津卷）已知an为等差数列，前n项和为Sn（nN*），bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.（

7、1）求an和bn的通项公式；（2）求数列a2nbn的前n项和（nN*）.解（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由已知b2b312，得b1（qq2）12，而b12，所以q2q60，又因为q0，解得q2，所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18，由S1111b4，可得a15d16，联立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以an的通项公式为an3n2，bn的通项公式为bn2n.（2）设数列a2nbn的前n项和为Tn，由a2n6n2，bn2n，有Tn 4210221623（6n2）2n，2Tn42210231624（6n8）2n（6n2）2n1，上述两式相减，得Tn42

8、62262362n（6n2）4（6n2）2n1（3n4）2n216.所以Tn（3n4）2n216.所以数列a2nbn的前n项和为（3n4）2n216.探究提高1.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解.2.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“SnqSn”的表达式.【训练2】 （2017衡阳模拟）已知等差数列an满足：an1an（nN*），a11，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，且an2log2bn1.（1）求数列an，b

9、n的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和Tn.解（1）设d为等差数列an的公差，且d由a11，a21d，a312d，分别加上1，1，3成等比数列，得（2d）22（42d），因为d0，所以d2，所以an1（n1）22n1，又因为an12log2bn，所以log2bnn即bn（2）Tn，得21所以Tn3热点二an与Sn的关系问题【例2】 （2017济南模拟）设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an5Sn1成立，bn1log2|an|，数列bn的前n项和为Tn，cn（2）求数列cn的前n项和An，并求出An的最值.解（1）因为an5Sn1，nN*，所以an15Sn11，两式相减，得

10、an1an，又当n1时，a15a11，知a1所以数列an是公比、首项均为的等比数列.所以数列an的通项公式an（2）bn1log2|an|2n1，数列bn的前n项和Tnn2，cn所以An1因此An是单调递增数列，当n1时，An有最小值A11；An没有最大值.探究提高1.给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用SnSn1an（n2）转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.2.形如an1panq（p1，q0），可构造一个新的等比数列.【训练3】 （2017梅州质检）设数列an的前n项和为Sn，且Sn2，bn为等差数列，且a1b1，a2（b2b1）a1.（1）求数列an和bn的通项公式；（2）设cn，求数列cn的前n项和Tn.解（1）当n1时，a1S11.此式对n1也成立，an（nN*），从而b1a11，b2b12.又因为bn为等差数列，公差d2，bn1（n1）22n1.（2）由（1）可知cn（2n1）2n1，所以Tn1132522（2n1）2n1，2Tn12322523（2n3）2n1（2n1）2n，得：Tn12（2222n1）（2n1）2n1（2n1）12n14（2n1）2n3（2n3）Tn3（2n3）2n.热点三数列与函数、不等式的