钢管订购和运输数学建模.docx

1、钢管订购和运输数学建模钢管订购和运输摘 要本文建立了一个运输问题的最优化模型。通过对图(一)的分析，我们首先直观地将路线分成两段，将图分为两个子图建立了模型一, 利用分支定界法求得总费用最优解为1279496万元。然后对模型一进行优化，得到全线的最优模型二，求得总费用最优解为1278632万元。通过对最优模型二的分析，我们得出钢厂S1的上限产量和钢厂S6的销价的的变化对运购计划和总费用的影响最大，并给出了数据结果。我们利用截取和连接的方法将树形图转化成为对线性图进行分析，并给出了一般的解决方法。对图(二)给出的具体模型，类似与问题一,分别建立了模型三和模型四,求得最优解分别为1408859.4

2、和1403948万元问题的提出已知有7个钢厂，可生产输送天然气主管道的钢管，用Si表示(i=1,2,7)。现有个地点（A1,A2,A15），沿着这个地点铺设一条输送天然气的主管道。为方便计，1km主管道称为单位钢管。 一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂在指定期限内能生产该钢管的最大数量为个单位，钢管出厂销价1单位钢管为万元，如下表：1234567800800100020002000200030001601551551601551501601单位钢管的铁路运价如下表：里程(km)300301350351400401450451500运价(万元)2023262932里程(

3、km)5016006017007018008019009011000运价(万元)37445055601000km以上每增加1至100km运价增加5万元。 公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点，而是管道全线）。（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请

4、就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。二、问题的分析 该问题是图论中运输问题的最优化问题。 经过分析，我们认为总费用可分为两种费用进行求解，分别为：（1）销价和运输钢管至管道结点Ai(i=1,2,15)的总费用（称为成本费用）（2）铺设过程中的运输费用； 要解决此问题，我们认为有两点关键：（1）如何求出Ai（i=1,2,15）至Si(i=1,2,7)的最小成本费用；（2）如何调整使得各路径满足题中的最优指标。 针对上述问题，我们分别运用了图上作业法、枚举法、逐次修正法、重绕最小生成树法等方法，在综合考虑算法的精度和算法的复杂度后，我们选择了图上作业法、枚举法

5、、逐次修正法对模型进行逐次优化，直至求得最优解。三、模型的基本假设及符号说明（一）基本假设：（1）运输方式的改变所花费用包含在运费中；（2）铁路线上任意两点可以直达，不需中途转车，即铁路线上两点间运费按线路总长计算；（3）假设一单位钢管可由任意长度钢管组成，购买钢管可以非整数单位购买;（4）不考虑其它外界因素对费用的影响；（5） 钢管在铺设时，先将钢管运到结点处，再由结点处向左右两方相邻结点铺设；（6） 在Si厂购买钢管要么为零,要么至少为500单位。（二）符号说明： xij：从钢厂Si运到结点Aj的单位钢管数； fij：单位钢管从钢厂Si运到结点Aj的的最少成本费用； tj：第Aj点与Aj+

6、1点间的路线长度，j=1,2,14； yj：从结点Aj开始沿管道向右铺设的路线长度, j=1,2,3,15； w：钢管订购和运输的总费用； mi: 钢厂Si的最小产量，mi=500，i=1,2,3,4,5,6,7 ni: 钢厂Si的产量上限，ni=si，i=1,2, ，7 bi: 图一中各节点（见附录七） Vi: 图二中各节点（见附录八）四、模型的建立与求解（一）问题一及其求解：针对图（一），我们首先采用图上作业法对所给图进行分析，利用枚举法，我们求出一单位钢管由钢管厂Si运输至管道结点i的最小成本费用，具体数据如下表：表一 单位钢管由Si运输至i的最小成本费用 (单位：万元)S1S2S3S4

7、S5S6S7A1330.7370.7385.7420.7410.7415.7435.7A2320.3360.3375.3410.3400.3405.3425.3A3300.2345.2355.2395.2380.2385.2405.2A4258.6326.6336.6376.6361.6366.6386.6A5198266276316301306326A6180.5250.5260.5300.5285.5290.5310.5A7163.1241251291276281301A8181.2226.2241.2276.2266.2271.2291.2A9224.2269.2203.2244.223

8、4.2234.2259.2A10252297237222212212237A11256301241211188201226A12266311251221206195216A13281.2326.2266.2236.2226.2176.2198.2A14288333273243228161186A15302347287257242178162 这样，原问题即转化为通常的运输问题。我们进一步对上表数据进行分析，得到结论：结论1：将4、S5两列数据进行对比，发现同一行中S4列数据均大于S5列。由此得出，应优先考虑钢厂S5，只有当对S5的需求量超过其最大产量时，才需要考虑钢厂S4。 进一步对原图进行分

9、析可得：结论2：由于A1点只有通过A2点才能与钢厂Si连接,故模型中不需考虑往A1运输钢管。模型(一)：对表一数据进一步分析。将各行数据由小到大排序，发现由A2至A9各行中费用最小的前四个数据均在S1,S2,S3,S5列中，由A10至A15各行中费用最小的前三个数据均在S5,S6,S7中，直观感觉到：A1至A9需要来自S6及S7等后一部分钢厂的钢管的可能性很小，而且A9至A15不太可能需要S1、S2、S3等前一部分钢厂生厂的钢管，故把原图分为两个子图考虑，分别为A1至A9和A9至A15，即分为两个子模型，分别进行最优化，得到两个子模型(非线性规划模型)如下： 子模型1： 子模型2： 由于这两个

10、子模型属于非线性规划问题，且第一个约束条件很复杂，利用结论1、2，采用分支定界法用LINGO软件分别进行编程（见附录一、二）得到： w1=859629.3 w2=419866.7模型一的总费用为w=w1+w2=1279496（万元）。模型（二）：由于前面的模型直观将管道分为两端，即原图分为两个子图，可能存在一定的误差。下面对模型（一）进行优化，即对主管道建立统一模型，如下：同样利用结论1、2并采用分支定界法，利用LINGO软件编程（见附录三）运行得出:最优解W=1278632万元，各节点向右铺设的管道单位数：Y1=0 Y2=175 Y3=282 Y4=0 Y5=10 Y6=16 Y7=76 Y

11、8=175 Y9=159 Y10=30 Y11=145 Y12=11 Y13=34 Y14=335 表二 各钢厂定购计划：S1S2S3S4S5S6S7数量800800100001237.51333.50表三 运输计划如下（bi含义参见附图七）:路 线 运量S1-b7-b6-b5-A5-A4; 335S1-b7-b6-A6; 200S1-A7; 265;S2-b8-b4-b2-b1-A2; 179S2-b8-b4-b2-b3-A3; 131.3S2-b8-S1-b7-b6-b5-A5-A4; 116S2-b8-S1-b7-b6-b5-A5; 73.7S2-b8-A8; 300 S3-b9-b8-

12、b4-b2-b3-A3; 319S3-b9-b8-S1-b7-b6-b5-A5-A4; 11S3-b9-A9; 604S5-b12-b11-b10-b9-b8-b4-b2-b3-A3; 57.7S5-b12-b11-b10-b9-b8-S1-b7-b6-b5-A5; 542.3S5-b12-b11-b10-A10; 222.5S5-b12-A11; 415S6-b16-b15-b13-b11-b10-A10; 128.8S6-b16-b15-b13-b14-A12; 86S6-b16-b15-A13; 333S6-A14; 621S6-b16-b17-A15; 165（二）问题（2）的求解 通

13、过模型（二）的求解，我们确定对图（一）仅需要S1、S2、S3、S5、S6承担生产任务即可取得最优解。对模型所用程序进行灵敏度分析，并具体考虑当钢厂钢管的销价增加1万元或产量上限增加1单位时，购运计划和总费用的变化情况，结果如下表：表四 钢厂Si的钢管产量上限增加1单位对总费用的影响S1S2S3S4S5S6S7总费用1278529127859712786071278632127863212786321278632减少量10335250000则可以发现：钢厂S1的钢管产量上限的变动对购运计划和总费用影响最大。表五 钢厂Si的钢管销价增加1万元对总费用的影响S1S2S3S4S5S6S7总费用1279432127943212796321278632127963913798341278632增加量80080010000100712020则可以发现：钢厂S6的钢管销价的微小变动对购运计划和总费用影响最大。（三） 问题（3）的求解 1、一般模型 经过对图（一）的分析求解可以看出，订购及运输钢管的总费用可由各段所需费用求和得到。若要铺设的管道是一个树形图， 则可以将其转化为线性管道进行分析。具体解题步骤如下：（1）运用图论的最小权匹配法（简单图可利用枚举法），求出从各钢厂定购并运输一单位钢管