完整版随机过程知识点汇总Word格式.docx

1、xf （x）dxDX E（X EX） 2 EX （EX） 2方差：反映随机变量取值 的离散程度协方差（两个随机变量 X ,Y）：BE（ X EX）（Y EY） E（XY） EX EYXYBXY相关系数（两个随机变量X,Y）：0，则称 X ,Y不相关。若DXDY独立不相关itXg（t） E（e ）itxe pk 连续 g（t）eitx f （x）dx特征函数离散 g（t）重要性质： g（0） 1，g（t） 1 g（ t） g（t）， g （0） i EX kk k常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差分布二项分布P（ X 1） p,P（ X 0） qEX ppqP（X k） C p q n

2、 kEX npDX n p q泊松分布P（ X k） ek!均匀分布略（ x a）2N（a, ） f （x）EX a正态分布e e ,x 00, x 0指数分布X （X ,X , ,X ） 的联合概率密度 X N（a, B）维正态随机变量T 1（x a） B （x a）f （x , x , , xn）exp（2 ） | B |2a （a ,a , ,a ）， x （x , x , ,x ）， B （b ） 正定协方差阵ij n n二随机过程 的基本概念随机过程 的一般定义设 （ , P）是概率空间， T是给定 的参数集，若对每个 t T，都有一个随机变量 X与之对应，X（t,e）,t T （

3、,是P）上 的随机过程。简记为X（t）,t T。则称随机变量族含义：随机过程是随机现象 的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象 的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验 的结果，而实验出现 的样本函数是随机 的。t当固定时，X （t,e）是随机变量。当 e固定时， X （t,e）时普通函数，称为随机过程 的一个样本函数或轨道。分类：根据参数集 T和状态空间 I是否可列，分四类。也可以根据 X （t）之间 的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。随机过程 的分布律和数字特征用有限维分布函数族来刻划随机过程 的统计规律性。随机过程X （t）,t T 的一维分布，二维

4、分布， n维分布 的全体称为有限维分布函数族。随机过程 的有限维分布函数族是随机过程概率特征 的完整描述。在实际中，要知道随机过程 的全部有限维分布函数族是不可能 的，因此用某些统计特征来取代。m （t） EX（t）X（t）,t T（）均值函数在时刻 的平均值。表示随机过程（）方差函数 D （t） EX（t） m （t） 2t对均值 的偏离程度。表示随机过程在时刻B （s,t ） E（ X （s） m （s）（ X （t） m （t）B （t,t） D （t）且有（）协方差函数（）相关函数E X （s）X （t） m （s）m （t）R （s,t） E X（s）X（t）（3） （4）表示随机过

5、程在时刻 s t和，时 的线性相关程度。（）互相关函数：数。X（t）,t T， Y（t）,t T是两个二阶距过程，则下式称为它们 的互协方差函B （s, t） E（ X （s） m （s）（Y（t） m （t）X YY，那么 R （s,t） E X（s）Y（t），称为互相关函数。EX （s）Y（t） m （s）m （t ）EX（s）Y（t） m （s）m （t），则称两个随机过程不相关。复随机过程Z X t jYt均值函数 m （t） EX t jEYtZ方差函数D （t） E| Z m （t） |2 E（Z m （t）（Z m （t）B （s,t） E（Z m （s）（Z m （t）sR （

6、s,t） EZ Z t 协方差函数相关函数EZ Z m （s）m （t）常用 的随机过程（）二阶距过程：实（或复）随机过程X（t）,t T，若对每一个 t T，都有 E X （t）（二阶距存在），则称该随机过程为二阶距过程。t1 t t t T，有2 3 4（2）正交增量过程：设X（t）,t T是零均值 的二阶距过程，对任意 的E（ X（t ） X（t ）（X（t ） X（t ） 0，则称该随机过程为正交增量过程。43其协方差函数 B （s,t） R （s,t）（min（s,t）（3）独立增量过程：随机过程 X（t）,t T，若对任意正整数 n 2，以及任意 的 t t 2tn T，X（t ）

7、 X （t ）, X （t ） X（t ）, ,X（t ） X（t ）是相互独立 的，则称 X（t）,t T是独立随机变量n 1是独立增量过程，对任意s t，随机变量 X （t） X （s） 的分增量过程。进一步，如布仅依赖于t s，则称 X（t）,t T是平稳独立增量过程。具有马尔可夫性，即对任意正整数 n及（ 4）马尔可夫过程：如果随机过程t1 t2t n T， P（X（t ） x , , X（t ） x ） 0，都有1 1 n 1 n 1P X（t ） x X（t ） x , , X（t ） xn 1P X（t ） x X（t ） xn 1，则则称 X（t）,t T是马尔可夫过程。n及

8、t1,t , ,t T2 n（ 5）正态过程：，若对任意正整数X（t ）, X（t ） X（t ）是 n维正态随机变量，其联合分布函数是（n维正态分布函数，则称X（t）,t T是正态过程或高斯过程。（6）维纳过程：是正态过程 的一种特殊情形。设 W（t）,为实随机过程，如果， W（0） 0；是平稳独立增量过程；对任意 s,t增W（t） W（s） N（0, t s）量 W （t） W（s）服从正态分布，即0。则称W（t）,为维纳过程，或布朗运动过程。另外：它是一个 Markov过程。因此该过程 的当前值就是做出其未来预测中所需 的全部信息。维纳过程具有独立增量。该过程在任一时间区间上变化 的概率

9、分布独立于其在任一 的其他时间区间上变化 的概率。它在任何有限时间上 的变化服从正态分布，其方差随时间区间 的长度呈线性增加。（7）平稳过程：n t ,t , ,t T，及1 2 n严（狭义）平稳过程：，如果对任意常数和正整数t1,t2, ,tnT，（ X （t ）, X（t ） X（t ）与（ X（t1）, X（t 2） X（tn）有相同 的联合分布，则称是严（狭义）平稳过程。X （t）,t T是二阶距过程；对任意 的t T，广义平稳过程：，如果m （t） EX（t）常数；对任意 s， t T R （s,t） E X（s）X（t） R （t s），或仅与时间差t s有关。则满足这三个条件 的

10、随机过程就称为广义平稳过程，或宽平稳过程，简称平稳过程。第二章泊松过程一泊松过程 的定义（两种定义方法），设随机计数过程X（t）,t 0，其状态仅取非负整数值，若满足以下三个条件，则称： X（t）,t T是具有参数 的泊松过程。 X （0） 0；独立增量过程，对任意正整数 n，以及任意 的t n T X（t ） X（t ）, X（t ） X（t ）, ,X （t ） X（t ）相互独立，即不同时间间隔 的计数相互独立；在任一长度为t 的区间中，事件发生 的次数服从参数t 0 的 的泊松分布，即（ t） n对任意 t, s 0，有 P X （t s） X （s） n en 0,1,n!E X （

11、t），表示单位时间内时间发生 的平均个数，也称速率或强度。t，设随机计数过程X （t）,t 0，其状态仅取非负整数值，若满足以下三个条件，则称： X （t）,t 0独立、平稳增量过程；P X （t h） X （t） 1P X （t h） X （t） 2h o（h）。o（h）第三个条件说明，在充分小 的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不可能有两个或两个以上事件同时发生，也称为单跳性。二基本性质s（ t 1） s tm （t） E X （t）t DX （t） R （s,t），数字特征t（ s 1） s tB （s,t） R （s,t） m （s）m （t）min（s,t）推导过程要非常熟悉， Tn 1事件发生到第 n次事件发生 的时间间隔，T ,n 1是时间序列，随机变量 Tn表示第e ,t 01 e ,t 0服从参数为 的指数分布。概率密度为 f （t），分布函数 F （t）均值T0,t 0为 ET n证明过程也要很熟悉三非齐次泊松过程到达时间 的分布略到达强度是 t 的函数