专题十五空间向量的应用文档格式.docx

1、（2） 若直线，平面的法向量，则；（3） 若直线（4）若平面2. 空间的角（1） 若异面直线的方向向量为，；与所成的角为（2） 已知直线，与平面的夹角为（3） 已知二面角的两个面和的法向量分别为与该二面角相等或互补；3空间的距离（1）一个点到它在一个平面内射影的距离，叫做点到这个平面的距离；（2）已知直线平行平面上任一点到的距离都相等，且叫做到的距离；（3）和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段，两平行平面的任两条公垂线段的长度都相等，共垂线段的长度叫做两平行平面的距离，也是一个平面内任一点到另一个平面的距离；的一个法向量为，P是

2、平面外一点，A是内任一点，则点P到平面的距离空间向量应用专题教学目标1. 掌握与直线平行的方向向量和平面的法向量的概念，会把线面的平行及垂直关系转化为向量关系；2. 会用向量方法证明简单空间图形中直线和直线、直线和平面、平面和平面的垂直、平行，以及解决一些简单的几何证明问题；3. 会在简单的空间图形中用向量方法进行有关距离、角（包括异面直线所成角）的度量的计算.知识梳理 1. 已知空间两点_； _；若_2. 已知平面外一点面，则点到平面的距离_；斜交，且是平面的法向量，则的几何意义为_3. 已知空间两异面直线，设两直线的方向向量的夹角为，则两直线的夹角_， _4. 已知直线与平面相交，设直线的

3、方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面的夹角5. 已知二面角，设的法向量夹角为，则二面角的平面角分别是在平面内与垂直的向量，设【答案】1. 2.（1） （2）3.或4.5.典例精讲 （）如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为1，是底面边上的中点，是侧棱上的点，且.（1）求异面直线的夹角；（2）求直线所成的角；（3）求二面角的平面角的余弦值；（4）求点的距离.【本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力。其中（2）如果不用空间向量会非常繁琐。】解法1：（1）建立如图所示的空间直角坐标系：。（2）设平面不妨设，得设

4、，所求线面角为（3）建立如图所示的空间直角坐标系，则, ，所以，因为,所以,同法可得故为的二面角故所求二面角的平面角的余弦值为（4）设为平面的一个法向量， 则由得故可取. 设则所以的距离为解法2：（1）（2）同解法1（1）（2）.（3）因为边上的中点， 所以又，从而, 为二面角的平面角. =连在中，由余弦定理得（4）过在面内作直线为垂足.平面，所以. 于是故即为中，.故点到平面AMN的距离为1.例1. （）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，相交于点，且顶点在底面射影恰好为，又所成角的余弦值（2）求二面角的大小（3）设点在棱上，且，问为何值时，解：（1）以为原点，为轴，轴，建立直角坐标系.所以两

5、异面直线所成的角为（2）求的平面的一个法向量，二面角的大小为（3）由条件可得,由，此时课堂检测（）如图平面，四边形都是直角梯形，（1）证明：四点共面；（2）设，求二面角的大小.【解1】：（1）延长交的延长线于点，由延长的延长线于,同理可得 ，即重合 因此直线四点共面.取中点，又由已知得，内两相交直线都垂直.所以作，垂足为，连结，故所以二面角【解2】：由平面，以为坐标原点，射线轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系（1）设则，从而由点四点共面， 则， 在上取点，使从而的夹角等于二面角的平面角，【点评】：此题重点考察立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考察空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能

6、力；【突破】：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意书写格式是顺利进行解法1的关键；在解法2中，准确的建系，确定点坐标，熟悉向量的坐标表示，熟悉空间向量的计算在几何位置的证明，在有关线段，角的计算中的计算方法是解题的关键.2. （）如图，在长方体、分别是的中点，（1）求证： /面的大小；（3）求三棱锥的体积解法一：1.证明：的中点 分别为, ， 面 2.的中点，的中点 ， ,，交于，则由三垂线定理得的平面角.在.在故：二面角（3），解法二：以所在直线分别为轴，建立直角坐标系，则 （1）, 取，显然，过,又由，及在直线上，可得:,解得 即所夹的角等于二面角的大小 （）设的法向量， 则 又，可取点到平

7、面学法提炼空间坐标系是对平面坐标系的扩展，即由平面坐标系的二维扩展到三维。空间坐标系在解决规则图形时是万能的。也就是说，只要能建立空间坐标系，就能解决线线、线面以及面面之间的平行、垂直、夹角等几乎所有的相关问题。用空间坐标系解决线面问题的优点是：1、方法是绝对的，只要能建立坐标系就能解决。2、不用具体去分析图形，掌握方法就可以立即下笔。3、不用作辅助线。缺点是计算过程比较繁琐，有时候不容易建立坐标系，而且空间坐标系只限于规则的几何图形。但作为一种方法，“一条必然可以达到成功彼岸的路”，值得我们去学习和掌握。空间坐标系并不难掌握，只要我们联系平面坐标系，比较起来学习，就会有事半功倍的效果。例1在

8、四棱锥底面为矩形，且的中点，求证：小结：常见类题需要学生能自己动手作图，并且用向量证明线面平行时，最后应说明向量所在的基线不在平面内。例2（辽宁理19）已知三棱锥PABC中，PA面ABC，ABAC，PA=AC=，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.证明：CMSN；本题空间坐标系易建立，可用坐标法.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图，则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1, ,0）， 所以CMSN . 例2（天津理19） 在长方体分别是棱上的点，=证明解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设,依题意得 , 已知 ,于是=0，=0.因此， ,又【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量