高等几何第三版 朱德祥参考答案Word文档格式.docx

1、仍为B由于在一般三角形中，中线A并不垂直底边B。得下题2、两条直线垂直是不是仿射不变性？答:两直线垂直不是仿射不变性。3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。设仿射变换T将ABC 变为A，D、E、F分别是BC、CA，AB边的中点。由于仿射变换保留简比不变，所以D =T（D），E=T（E），F=T（F）分别是B,CA,A的中点，因此A，BE，CF是A的三条中线（图2）。设G是ABC的重心，且G=T（G） GAD，由结合性得G A；又（AGD）=（AG）即 G的重心。4、证明梯形在仿射对应下仍为梯形。设在仿射对应下梯形ABCD（ABCD）与四边形A相对应，由于仿射对应保持平行性不变，因此 AC，所

2、以A为梯形。5、证明两个全等矩形经过仿射变换为两个等积平行四边形。设T为仿射变换，A1B1C1D1与A2B2C2D2为两个全等矩形，其面积分别以S1=S2。由于T保留平行性，所以： T（A1B1C1D1）= 平行四边形A1B1C1D1, 面积记为：S1 T（A2B2C2D2）=平行四边形A2B2C2D2,面积记为：2，且 S1=K S1，S2=KS2， A1与A2是等积的平行四边形。6、经过A（-3，2）和B（6，1）两点的直线被直线X+3y-6=0截于P点，求简比（ABP）解：设P点的坐标为（x0，yo）（分割比）， 且P在直线x+3y-6=0上，解得=1，即P是AB中点，且（ABP）=1。

3、7、证明直线Ax+By+C=0将两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2）的联线段分成的比是证明 设分点为P（x0，y0），则分割比= ，P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，Ax1+By1+C+（Ax2+By2+C）=0 8、证明一直线上二线段之比是仿射不变量。若直线a上两线段AB和CD经仿射变换T后与直线a上的两段和C对应图（3）得证。9、证明图形的对称中心是仿射不变性，图形的对称轴和对称平面是不是仿射不变性？设仿射变换T将中心对称图形F变为图形F，点O是F的对称中心，A，B为图形F上关于点O对称的任意一对对称点。设T（O）=O，T（A）=A T（B）=BT（F）=F，由结合性，点A

4、在图形F上；由简比不变性，（ABO）=（AO）。所以F是中心对称图形，从而图形的对称中心是仿射不变性。如果点A、B关于直线l（平面）对称，则线段AB1（AB）。但仿射变换不保留角的度量，所以当T（A）=A，T（B）=BT（1）=1（T（）=）时，线段A不一定垂直线1（平面10、在仿射坐标系下，直线方程是一次的。 证明：设在笛氏坐标系下直线方程为： Ax+By+C=0 （1）（x,y）为笛氏坐标，（x，y）为仿射坐标。笛氏到仿射的变换式为：设其逆变换为： 将（3）式代入（1），得 A（a1x+a2y+a0）+B（b1x+b2y+b0）+C=0,即：（Aa1+Bb1）x+（Aa2+Bb2）y+Aa

5、0+Bb0+C=0，记为： 是x,y的一次式。其中 =Aa1+Bb1, =Aa2+Bb2， =Aa0+Bb0+C0且不全为0，若不然，Aa1+Bb1=0，Aa2+Bb2=011、利用仿射变换式，试求在仿射变换下，三角形的面积是怎样改变的？（从而明确1.2定理5所指常数的意义）。A1A2A3和A1A2A3的面积分别以S, S表示，=这结果与1.2系2一致，三角形（从而多边形或曲线形）的面积经仿射变换后乘以一个常数k，此地进一步明确了这常数就是仿射变换式的行列式的绝对值，仿射变换式不同，这常数也不同。12、在等腰梯形中，两底中心，两对角线交点，两腰（所在直线）交点，这四点显然共线（在对称轴上），试

6、用仿射变换于此图形，得出什么推广了的命题？设E，F，Q，P分别是等腰梯形ABCD下底，上底的中点，对角线交点，要腰所在直线交点，T为仿射变换，则梯形ABCD梯形A，EE为B中点，FF为A 中点。（BDQ）=（BQ）,（ACQ）=（A）,（BAP）=（BP）,（CDP）=（C）且E，Q，F，P共线，由结合性得E，Q，F，P四点共线，但直线P已不是对称轴（图4）。由此得出，任意梯形上、下底中点，对角线交点，两腰所在直线交点凡四点共线。13、求仿射变换的自对应点和自对应直线；求自对应点：设x=x, y =y，因此得解得自对应点的坐标为x=-6，y=-8。求自对应直线，设任意直线l（u,v,w）在所给

7、的变换下的像1的方程为：ux+vy+w=0（3xy+4）+v（4x2y）+w=0，或（3u+4v）x（u+2v）y+4u=0。若1为自对应直线，则u=u，v=v，w=w，因此 因为u，v，w不全为零，所以方程组（1）有非零解。故解得1=2，2=1，3=1，将1=2代入方程组（1），得u=4,v=1，w=16。将2=1代入方程组（1），得u=1,v=2。将3=1代入方程组（1），得u=0,v=0，w=1。就本章内容而言，=1时，自对应直线不存在，故所求自对应直线为：4xy+16=0和xy2=0。第二章 欧氏平面的拓广1、证明中心投影一般不保留共线三点的简比。证：设SAC为等腰三角形（SA=SC）

8、,SBAC, 过A作一射线平行于SC交SB的延长线于B1,交SC于C（图5），则A,B1,C在中心S的投影下分别是A,B,C的像点，（ABC）= , 而（AB1C）= ，（ABC）（AB1C）,即中心投影一般不保留共线三点的简比。2、以下面的坐标表示的直线是怎样的直线？ （1）（1，11）； （2）（1，1，0）；（3）（0，1，0）。解 利用点线结合方程：u1x1+u2x2+u3x3=0.（1）u1=1,u2=1,u3=1,x1+x2x3=0，非齐次化为：x+y1=0.（2）x1x2=0或xy=0。（3）x2=0或y=0是x轴的方程。3、求联接点（1,2,1）与二直线（2,1,3），（1，1

9、，0）之交点的直线方程。解 先求二直线（2,1,3），（1，1，0）的交点坐标：x1：x2：x3=再求两点（1，1，1），（1，2，1）的联线的坐标：u1：u2：u3= 所求直线方程为：x1+x3=0或x+1=04、求直线（1,1,2）与二点（3，4，1）,（5,3,1）之联线的交点坐标。先求二点（3，4，1），（5,3,1）的联线坐标：u3=再求二直线（1,1,2），（1，8，29）的交点坐标：x3= 所求交点坐标为（45，31，27）。5、方程u1u2+2u3=0代表什么？u12u22=0代表什么？方程u1u2+2u3=0表点（1，1，2）的方程或表示以点（1，1，2）为中心的线束方程。

10、u12u22=（u1+u2）（u1u2）=0， u1+u2=0表示点（1，1，0）的方程；u1u2=0表示点（1，1，0）的方程。 u12u22=0表示两点（1，1，0）和（1，1，0）的方程。6、将2xy+1表示成3x+y2，7xy的线性组合，这种表达的几何依据何在？设2xy+1=（3x+y2）+（7xy）=（3+7）x+（）v2，得方程组 2xy+1=（3x+y2）+ （7xy）。依据是若令它们为零，所得三直线共点。7、将（2，1，1）表成（1，1，1）和（1，0，0）的线性组合，这说明什么几何性质？设（2，1，1）=（1，1，1）+（1，0，0）（1）则此方程组无解，即找不到和满足（1）

11、式，这说明它们表示的三点（线）不共线（点）。8、求直线x2y+3=0上的无穷远点的坐标。 解：x3=0是无穷远直线方程从而x12x2=0, 取x1=2, 得x2=1,所求无穷远点坐标为（2,1.0）。9、下列概念，哪些是仿射的，哪些是欧氏的？非平行线段的相等； 不垂直的直线；四边形； 梯形；菱形； 平行移动；关于点的对称； 关于直线的对称；绕点的旋转； 面积的相等。答：欧氏； 欧氏；仿射；仿射；欧氏；仿射； 仿射；欧氏；欧氏；仿射。第三章一维射影几何1、设A、B、C、D、E为直线上五点，证明（AB,CD）（AB,DE） （AB,EC）=1。证明: （AB,CD）（AB,DE） （AB,EC）2

12、、证明一线段中点是这直线上无穷远点的调和共轭点。设C为线段AB的中点，D为直线AB上的无穷远点， （ABCD）3、直线上顺序四点A、B、C、D相邻两点距离相等，计算这四点形成的六个交比的值。解:（AB，CD）（AB，DC）（AC，BD）=1（AB，CD）（AC，DB）（AD，BC）（AD，CB）4、求四点（2，1，1）,（1，1，1）,（1，0，0）,（1，5，5）顺这次序的交比。以（2，1，1）和（1，1，1）为基底。则（2，1，1）+1（1，1，1）=（1，0，0）（2，1，1）+2（1，1，1）=（1，5，-5） 所求交比为 5、设P1,P2,P4三点的坐标为（1，1，1）,（1，1，1）,（1，0，1）且（P1P2, P3P4）=2,求点P3的坐标。以 P1，P2为基底，则（1，1，1）+2（1，1，1）（1，0，1）。设1是基底P1，P2表示P3的参数，由已知条件（P1P2, P3P4）=，且2=1，1=2，因此，P3的坐标为（1，1，1）+2（1，-1，1）=（3，-1，3）。6、设A、B、C、D为共线四点，O为CD的中点，且OC2=OAOB，证明（AB，CD）=-1 OC2=OAOB，由合分比得因此（OC=OD）