1、3.一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为( )A、2、4、6 B、4、6、8 C、6、8、10 D、3、4、54.等腰直角三角形的直角边为2,则斜边的长为( A、 B、 C、1 D、25.已知等边三角形的边长为2cm,则等边三角形的面积为( A、 B、 C、1 D、6.已知直角三角形的两边为2和3,则第三边的长为_.7.如图,ACB=ABD=90,AC=2,BC=1,则BD=_.8.已知ABC中,AB=AC=10,BD是AC边上的高线,CD=2,那么BD等于()A、4 B、6 C、8 D、9.已知RtABC的周长为,其中斜边,求这个三角形的面积。10. 如果把勾股定理的边的平
2、方理解为正方形的面积,那么从面积的角度来说,勾股定理可以推广.(1)如图,以RtABC的三边长为边作三个等边三角形,则这三个等边三角形的面积、之间有何关系?并说明理由。(2)如图,以RtABC的三边长为直径作三个半圆,则这三个半圆的面积、之间有何关系?(3)如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180,请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系,并说明理由。(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”)题型二:利用勾股定理测量长度例1. 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?1.如图(8),水池中离岸边D点1.5米的C处,直立长着一根芦苇,出水
3、部分BC的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,并求水池的深度AC.2.一座建筑物发生了火灾,消防车到达现场后,发现最多只能靠近建筑物底端5米,消防车的云梯最大升长为13米,则云梯可以达该建筑物的最大高度是()A、12米 B、13米 C、14米 D、15米3.如图,有两颗树,一颗高10米,另一颗高4米,两树相距8米一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢,问小鸟至少飞行()A、8米 B、10米 C、12米 D、14米题型三:勾股定理和逆定理并用例3. 如图3,正方形ABCD中,E是BC边上的中点,F是AB上一点,且那么DEF是直角三角形吗?为什么?注:本题利用了四次勾股定理,是掌
4、握勾股定理的必练习题。1. 如图,正方形ABCD中,E为BC边的中点,F点CD边上一点,且DF=3CF,求证:AEF=90题型四:利用勾股定理求线段长度例1. 如图4,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.1.如图,将一个有45度角的三角板顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上,另一个顶点B在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30角,求三角板的最大边AB的长.2.如图,在ABC中,AB=BC,ABC=90,D为AC的中点,DEDF,交AB于E,交BC于F,(1)求证:BE=CF;(2)若
5、AE=3,CF=1,求EF的长.3.如图,CA=CB,CD=CE,ACB=ECD=90,D为AB边上的一点.若AD=1,BD=3,求CD的长.题型五:利用勾股定理逆定理判断垂直例1. 有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?1.如图,每个小正方形的边长都是1,ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上,试判断ABC的形状,并说明理由.(1)求证:ABD=90;(2)求的值2.下列各组数中,以它们边的三角形不是直角三角形的是( A、9,12,15 B、7,24,25 C、 D、,3.在
6、ABC中,下列说法B=C-A;A:B:C=3:4:5;a:b:c=5:4:3;:=1:2:3,其中能判断ABC为直角三角形的条件有( A、2个 B、3个 C、4个 D、5个4.在ABC中,A、B、C的对边分别是a、b、c.判断下列三角形是否为直角三角形?并判断哪一个是直角?(1)a=26,b=10,c=24;(2)a=5,b=7,c=9;(3)a=2,5.已知ABC的三边长为a、b、c,且满足,则此时三角形一定是( A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、锐角三角形6.在ABC中,若a=,b=2n,c=,则ABC是()A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、直角三角
7、形7.如图,正方形网格中的ABC是( A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形8.已知在ABC中,A、B、C的对边分别是a、b、c,下列说法中,错误的是( A、如果C-B=A,那么C=90 B、如果C=90,那么C、如果(a+b)(a-b)=,那么A=90 D、如果A=30,那么AC=2BC9.已知ABC的三边分别为a,b,c,且a+b=3,ab=1,求的值,试判断ABC的形状,并说明理由10.观察下列各式:,根据其中规律,写出下一个式子为_11.已知,mn,m、n为正整数,以,2mn,为边的三角形是_三角形.12.一个直角三角形的三边分别为n+1,n-1,8
8、,其中n+1是最大边,当n为多少时,三角形为直角三角形?题型六:旋转问题:例题6. 如图,P是等边三角形ABC内一点,PA=2,PB=,PC=4,求ABC的边长.跟踪练习1.如图,ABC为等腰直角三角形,BAC=90,E、F是BC上的点,且EAF=45,试探究间的关系,并说明理由. 题型七:关于翻折问题例题7.如图,矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点,将矩形纸片沿AE折叠,点B恰好落在CD边上的点G处,求BE的长.1.如图,AD是ABC的中线,ADC=45,把ADC沿直线AD翻折,点C落在点C的位置,BC=4,求BC的长.(一) 折叠直角三角形1.如图,在ABC中
9、,A = 90,点D为AB上一点,沿CD折叠ABC,点A恰好落在BC边上的处,AB=4,AC=3,求BD的长。2. 如图,RtABC中,B=90,AB=3,AC=5将ABC折叠使C与A重合,折痕为DE,求BE的长(二)折叠长方形1.如图,长方形ABCD中,AB=4,BC=5,F为CD上一点,将长方形沿折痕AF折叠,点D恰好落在BC上的点E处,求CF的长。2. 如图,长方形ABCD中,AD=8cm,AB=4cm,沿EF折叠,使点D与点B重合,点C与C重合. (1)求DE的长;(2)求折痕EF的长.3. (2013常德)如图,将长方形纸片ABCD折叠,使边CD落在对角线AC上,折痕为CE,且D点落
10、在对角线D处若AB=3,AD=4,则ED的长为()4. 如图,长方形ABCD中,AB=6,AD=8,沿BD折叠使A到A处DA交BC于F点. (1)求证:FB=FE(2)求证:CABD(3)求DBF的面积7. 如图,正方形ABCD中,点E在边CD上,将ADE沿AE对折至AFE,延长EF交边BC于点G,G为BC的中点,连结AG、CF. (1)求证:AGCF;(2)求的值.题型八:关于勾股定理在实际中的应用:例1、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP=160米,点A到公路MN的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶
11、时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少? 例2.一辆装满货物高为1.8米,宽1.5米的卡车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧道,它能顺利通过吗?1. 某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处,以每小时26km的速度向北偏东60方向移动,距风暴中心200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响?如果受影响,请求出遭受风暴影响的时间;如果没有受影响,请说明理由。2.一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如下图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?3.有一个边长为5
12、0dm 的正方形洞口,想用一个圆盖去盖住这个洞口,圆的直径至少多长?(结果保留整数)4.如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DAAB于A,CBAB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少km处?题型九:关于最短性问题例1、如右图119,壁虎在一座底面半径为2米,高为4米的油罐的下底边沿A处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击结果,壁虎的偷袭得到成功,获得了一
13、顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?(取3.14,结果保留1位小数,可以用计算器计算)例2.1.如图为一棱长为3cm的正方体,把所有面都分为9个小正方形,其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点,最少要花几秒钟?2.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少?3.一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm,6cm,12cm,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点,你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗?蚂蚁要爬行的最短路程是多少?4.如图将一根13.5厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中,能全部放进去吗?3?A题型十:勾股定理与特殊角(一) 直接运用30或45的直角三角形1.如图,在ABC中,C = 90,B = 30,AD是ABC的角平分线,若AC=,求AD的长。2.如图,在ABC中,ACB = 90,AD是ABC的角平分线,CDAB于D,A= 30,CD=2,求AB的长。3.如图,在ABC中,ADBC于D,B= 60,,C= 45,AC=2,求BD的长。(二) 作垂线构造30(1) 将105转化为45和601.如图,在
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