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1、,高等数学,高等数学（上）高职高专 ppt 课件,导数的概念,求导法则和基本求导公式,函数的微分,隐函数和由参数方程所确定函数的导数,高阶导数,主要内容,高等数学（上）高职高专 ppt 课件,一、两个实例,1变速直线运动的瞬时速度,自由落体运动:,第一节 导数的概念,第二步：求,第三步：求,第一步：求,高等数学（上）高职高专 ppt 课件,在曲线上任取不同于M0点的一点M，作割线M0M.当点M沿着曲线移动并趋于M0点时，割线就以点M0为轴转动，割线M0M的极限位置M0T就叫做曲线在点M0处的切线，点M0叫做切点。,曲线切线的定义,高等数学（上）高职高专 ppt 课件,第一步：求,第二步：求,切

2、线斜率的求法,高等数学（上）高职高专 ppt 课件,二、导数的定义,设函数,在点,及其近旁有定义，当自变量,有增量,时，函数有相应的增量,当,时，若,的极限存在，则极限值就称为函数,在点,的导数，并称函数,在点,导数），记为,，即,也可记为,或,.,可导（或有,=,或,高等数学（上）高职高专 ppt 课件,解（1）求函数改变量,（2）求,（3）当,时，求,的极限：,所以，,0,例1,高等数学（上）高职高专 ppt 课件,注意:,是函数,（1）,在区间,或,上的平均变化率；而,则是函数,在点,的变化率，它反映了函数随自变量变化的快慢程度.,（2）如果极限,不存在，则称,在点,不可导；如果不可导的

3、原因是当,时,所引起的，则称函数,在点,的导数为无穷大.,高等数学（上）高职高专 ppt 课件,三、函数的可导性与连续性的关系,注意：一个函数在某点连续，但在该点函数不一定可导.,如果函数 在点 处可导,则它一定在点 处连续.,高等数学（上）高职高专 ppt 课件,四、函数在区间内可导的概念,如果函数,在区间,内的每一点都可导，,则称函数,在区间,内可导.这时，对于区间,内的每一个确定的,值，都有唯一的导数值,与之对应，即,所以,也是,的函数，称作,在,导函数，记作,或,内的,.,说明,在点 的导数值 就是导函数 在点 的函数值，即：,例2,=,解：,所以：,导函数也简称导数.求一个函数的导数

4、运算称为微分法.,说明,五、求导数举例,例3 求常值函数,的导数.,解：,所以,也就是说，常数的导数等于零，即,例4 求幂函数,的导数.（过程略）,幂函数求导举例,例5 求正弦函数,的导数.,解（1）计算函数增量,（2）算比值,（3）取极限,由此可得,同理,例6 求对数函数,的导数.,解,由此得到,特别地,例7 求指数函数,的导数.,解,利用极限,，得,由此得到,六、左导数和右导数,左导数：,右导数：,结论：,解：,例,七、导数的物理意义与几何意义,曲线在某点处的切线斜率,变速直线运动的瞬时速度,几何意义,物理意义,曲线,在点,则曲线在点,处的切线方程为：,法线方程为,的切线斜率,解：,所以，

5、该物体在任意时刻的速度,在,时的瞬时速度为,解,是曲线,上任意点,处的切线斜率,（1）在点,处，因为,，所以切线斜率为,根据直线方程的点斜式，得,整理得切线方程为,法线方程为,整理得,k=,第二节 求导法则和基本求导公式,设,1.,2.,3.,一、函数四则运算的求导法则,都是 的可导函数，则,推论,例1 求下列函数的导数：,（1）,（2）,（3）,（4）,（1）,解,（3）,（4）,（2）,例2 设，求。,所以,例3 求下列函数的导数,因此,因此,解（1）,在求导时先对函数变形再求导，有时可简化运算过程.,例5：求曲线 在点 处的切线方程和法线方程。,于是 曲线在点 的切线方程是,即,曲线在点

6、 的法线方程是,即,二、复合函数求导法则,引例:,注意：,而是 的复合函数。,不是基本初等函数，,分析,?,复合函数求导法则:,如果函数,在点,处可导，函数,点 处也可导，则复合函数 在点 可,也可写成,或,在对应,导，且,注:复合函数求导法又称为链锁法则，它可以推广到多个函数复合的情形.,例1 利用复合函数求导法则求下列函数的导数.,解,（1）,函数由,复合而成,（2）,（3）,注:复合函数的复合层次多于两层时，其计算方法完全一样，只需逐层求导即可。,例2 求下列函数的导数,（1）,函数由,与,复合而成,解：,所以,（2）,设,，,则,例3 求 的导数.,解,例4 求下列函数的导数,（1）,

7、（2）,（3）,解,（1）有理化分母,然后求导数，得,（2）先用对数性质展开，得,然后求导数，得,（3）先化简，得,然后求导数，得,1基本初等函数的导数公式（见教材）,三、求导公式与求导法则汇总,2函数四则运算的求导法则,（C为常数）.,（C为常数）.,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,3复合函数求导法则,设,则复合函数,的导数为：,或写成,或,.,例1 求下列函数的导数,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,解,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,第三节 函数的微分,一、微分的概念,图,2,-,4,若用 表示薄板的面积，表示边长，则.于,是面积的改变量为,从上式可以看出，,由两项

8、构成，,和,是次要部分.于是，当我们把,忽略不记时，,就是,的近似值，即,分析,上式中 的系数，就是函数 在点的导数,这就是说，函数,的自变量,在点,的改变量,时，函数的改变量,约等于其在点,的导数,与,的乘积.,于是上式又可表示为,.,有微小,分析,设函数,在点,处可导，即,根据函数极限与无穷小的关系，有,其中，,由此得,这表明，函数的改变量,是由,和,两项所组成.,，,当,时，由,知：,是,的同阶无穷小，,是较,高阶的无穷小.,由此可见，当,时，在函数的改变量,中，起主要作用的是,，它与,的差是一个较,高阶的无穷小.因此，,是,的主要部分；,又因为,是,的线性函数，所以通常称,为,的线性主

9、要部分（简称线性主部）,定义,设函数,在点,处可导，则称,为函数,在点,的微分,记号：,或,此时称函数,在点,可微.如果函数在,区间,内每一点可微，则称函数在区间,内可微.,函数在任一点,的微分，叫做函数的微分，一般,或,特别地,，即,因此,函数,的导数等于函数的微分,与自变量的微分,的商.因,此，导数又称微商.,解 函数的微分,当,时的微分,函数的增量为,结论:,例2 求下列函数的微分,1.,2.,解：,1.,2.,二、微分的几何意义,由图2-5可知：,如图2-5所示，过曲线,上一点,作曲线,.当自变量在,处取得改变量,时，我们得到曲线上另一点,的切线，切线的斜率,结论:,函数,在点,的微分

10、,，等于曲线在,点,的切线,上点的纵坐标对应于,的改变量.,这就是微分的几何意义.,1微分的基本公式,三、微分的基本公式与运算法则,微分的四则运算法则,1）.,2）.,3）.,4）.,5）.,四微分形式不变性,是自变量时，函数,如果,则,的微分为:,因为,所以有,结论：,不论是自变量还是中间变量，函数,的微分总保持同一形式,.,微分形式不变性,例1 用两种方法求下列函数的微分：,（1）,（2）,（3）,解法1 根据微分的定义,（1）,（2）,（3）,解法2 根据微分的基本法则和微分形式不变性,（1）,（2）,（3）,解：,（1）,因为,所以,（C为任意常数）.,（2）,同理,（3）,同理,例2

11、 在下列括号内填入适当的函数,使等式成立.,（1）,（2）,（3）,解,（1）,因为,所以,（C为任意常数）.,（2）,同理,（3）,同理,五、微分在近似计算中的应用,当,很小时，,亦即,将上式移项得,此式常用来计算函数,在点,附近的函数值的近似值.,（2）,（1）,例1 半径为10的球充气后半径增加了0.02,求球的体积大约增加了多少?,解 设球的体积为,，半径为,，则,由已知,，设球的体积的增加量为,因为,很小，所以可以用微分,来近似代替,而,于是,即球的体积大约增加了,.,.,例2 计算 的近似值,解 由于所求的是余弦函数值,故选取函数,于是,因为,所以取,（此时 很小）,代入上式得,即

12、,在公式,（2）中,当 时,得,（3）,当,很小时，可用公式（3）求函数,在,附近函数值的近似值.,当,很小时，可得工程上常用的近似公式,（1）,（6）,（5）,（3）,（4）,（2）,一 隐函数及其求导法,第四节 隐函数和由参数方程 所确定函数的导数,形如 的函数，叫做显函数,如：,由方程,所确定的,与,叫做隐函数.例如圆的方程,以及,等等,因变量 与自变量,的关系是由一个,的方程,所确定的.,之间的函数关系,含有,显函数有时很容易化成隐函数.,（1）在给定的方程两边分别对 求导数，遇到,（2）从（1）所得式中解出（或）即可.,隐函数求导方法:,时看成 的函数，的函数看成 的复合函数；,例1

13、 求由方程 所确定的函数 的导数.,解：将方程两边对 求导数，得,所以,说明：将此函数化为显函数再求导，可得同样结果.,例2 求由下列方程所确定的函数的导数：,（1）,（2）,解：,（1）方程两边对 求导数，得,解 出，得,（2）方程两边对 求导数，,得,解得,例3 求圆 在点 的切线方程.,解 方程两边对 求导数，得,解 出，得,把点,的坐标代入，得切线的斜率,由直线方程的点斜式，得,整理得切线方程为,含多次积、商、幂的函数,对数求导法,例4 求下列函数的导数：,（1）,（2）,形如 的函数,解：（1）此函数是幂指函数，两边取自然对数,解出，即得所给函数的导数为:,化为隐函数，得:,上式两边

14、对,求导数，得,（2）两边取对数并根据对数的运算法则，得,上式两边对,求导数，得,解出，即得原函数的导数为:,二、由参数方程所确定的函数的导数,一般地，参数方程,可以确定,与,函数关系.这种关系，有时可以用显函数表示出来.,例如,消去参数,可得,（称为普通方程），,由此可求出,之间的,，,根据导数又称微商这一结论，在,中同除以,，得：,即,这就是参数方程所确定的,与,方法，其结果一般仍为关于参数的解析式.,的分子和分母,之间的函数的求导,但对于有些参数方程，它所确定的,关于,的函数,关系，很难化为普通方程.,例1 已知参数方程,，求,解 根据参数方程的求导公式,因为,所以,解:因为,所以，所求

15、切线的斜率为,将,代入所给参数方程中，得切点,所以，切线的方程为,整理得,解 因为,所以,于是所求切线的斜率为,一、高阶导数的概念,第五节 高阶导数,一般地，函数,的导数,仍然是,的函数，如果是可导函数，则可以继续求它的导数，,，这相当于对函数,求了两次导数，,我们称,为,的二阶导数，,记作,，或,，或,例1求下列函数的二阶导数,（1）,（3）,（2）,解,（1）,（2）,（3）,的导数,三阶导数：,或,或,四阶导数：三阶导数的导数,或,或,一般地,的,阶导数的导数叫作,的,阶导数，,记作,或,或,高阶导数：二阶及二阶以上的导数,例2 求下列函数的各阶导数.,解（1）,依此类推，可得,（1）,

16、（2）,（2）,（3）,由此可得,（3）,一般地,*例3 求由方程,确定的隐函数的,解 将方程两边对 求导，得,所以,二阶导数.,解 因为,所以,二、二阶导数的力学意义,设物体作变速直线运动，其运动方程,运动的速度是路程,对时间,的导数，即,若速度,仍是时间,的函数，我们可以求速度,对时间,的导数，,表示，即,.在力学中，,物体运动的加速度，也就是说，作直线运动的物体，其,速度,是路程,对时间,的二阶导数.,.则物体,此时，,并用,称为,加,例 已知作直线运动物体的运动方程为,，求物体运动的加速度.,解：因为,所以,注：由于二阶导数是在一阶导数的基础上再求一次导数，所以不需要引进新的公式.,本章结束 谢谢!,