1、用你的方法分配上面的名额。2. 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.50元,120g装的3.00元,二者单位重量的价格比是1.2:1。试用比例方法构造模型解释这个现象。(1)分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定,这些成本中有的与重量w成正比,有的与表面积成正比,还有与w无关的因素。(2)给出单位重量价格c与w的关系,画出它的简图,说明w越大c越小,但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。3. 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生,打算按照放生的鱼的重量给予奖励,俱乐部只准备了一把软尺用于测
2、量,请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼,并且得到8条鱼的如下数据(胸围指鱼身的最大周长):身长(cm)36.831.843.832.145.135.9重量(g)76548211627371389652454胸围(cm)24.821.327.921.622.9先用机理分析建立模型,再用数据确定参数4. 用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道,要求布条不重叠,问布条与管道轴线的夹角应多大(如图)。若知道管道长度,需用多长布条(可考虑两端的影响)。如果管道是其他形状呢。5. 用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘,给出几种简便、有效的排列方法,使加工出尽可能多的圆盘。6. 动
3、物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变,在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。7. 举重比赛按照运动员的体重分组,你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。下面是一届奥员会的竞赛成绩,可供检验你的模型。组别最大体重(kg)抓举(kg)挺举(kg)总成绩(kg)54132.5155287.559137.5170307.564147.5187.533570162.5195357.576167.5200367.5683180212.5392.5791213402.5899185420943010108197.5260457.5第一部分 课
4、后习题答案1. 按照题目所给方法(1),(2),(3)的席位分配结果如下表:宿舍(1)(2)(3)总计152. (1)生产成本主要与重量w成正比,包装成本主要与表面积s成正比,其它成本也包含与w和s成正比的部分,上述三种成本中都含有与w,s均无关的成分。又因为形状一定时一般有,故商品的价格可表为(为大于0的常数)。(2)单位重量价格,其简图如下:显然c是w的减函数,说明大包装比小包装的商品便宜,;曲线是下凸的,说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的,不要追求太大包装的商品。3. 对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的,密度也大体上相同,所以重量w与身长的立方成正比,即,为比例系数。常钓得较
5、肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型,因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。如果只假定鱼的横截面积是相似的,则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比,于是利用数据估计模型中的系数可得=0.014,=0.0322,将实际数据与模型结果比较如下表:实际重量(g)模型7274691226483133967573046511001471607基本上满意。4. 将管道展开如图:可得,若d一定,w趋于0,趋于/2;w趋于d,趋于0。若管道长度为,不考虑两端的影响时布条长度显然为d/w,若考虑两端影响,则应加上dw/sin。对于其它形状管道,只需将d改为相应的周长即可。5. 设圆盘半径为单位1,矩形板材长a,宽b;可以精确加
6、工,即圆盘之间及圆盘与板材之间均可相切。方案一:圆盘中心按正方形排列,如下图1,圆盘总数为=a/2b/2方案二:圆盘中心按六角形排列,如下图2,行数m满足2+(m-1)a,于是m=图1 图2列数(按图2第1行计数)n满足:若b为奇数,则各行圆盘数相同为(b-1)/2;若b为偶数,则奇数行圆盘数为b/2,偶数行圆盘数为b/2-1。圆盘总数为其中(1)为:m为偶数。(2)为:m为奇数,b为偶数。两个方案的比较见下表(表中数字为/):14202/24/48/710/914/1320/193/36/612/1115/1421/2030/295/510/1020/1825/2335/3350/487/8
7、14/1628/2835/3649/5270/7610/1120/2240/3950/5070/72100/105当a,b较大时,方案二优于方案一。其它方案,方案一、二混合,若a=b=20,3行正方形加8行六角形,圆盘总数为106。6. 假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变,且动物体内热量主要通过它的表面积散失,对于一种动物其表面积S与某特征尺寸之间的关系是,所以饲养食物量7. 假设举重比赛成绩y与运动员肌肉的截面积s成正比,而截面积是某特征尺寸),体重,于是用举重总成绩检验这个模型,结果如下图3;如果用举重总成绩拟合,可得=0.57,结果如下图4。图3 图4第二部分 课后习
8、题1. Malthus模型预测的优缺点。2. 阻滞增长模型预测的优缺点。3. 简述动态模型和微分方程建模。4. 按照你的观点应从那几个方面来建立传染病模型。5. 叙述Leslie人口模型的特点。并讨论稳定状况下种群的增长规律。6. 试比较连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型)和离散形式阻滞增长模型, 并讨论离散形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。第二部分 课后习题答案1. 优点: 短期预报比较准确; 缺点: 不适合中长期预报; 原因: 预报时假设人口增长率为常数, 没有考虑环境对人口增长的制约作用。2. 优点: 中期预报比较准确; 理论上很好,实用性不强; 预报时假设固有人口增长率以及
9、最大人口容量为定值。实际上这两个参数很难确定,而且会随着社会发展情况变化而变化。3. 动态模型: 描述对象特征随时间(空间)的演变过程, 分析对象特征的变化规律, 预报对象特征的未来性态, 研究控制对象特征的手段;微分方程建模: 模根据函数及其变化率之间的关系确定函数, 根据建模目的和问题分析作出简化假设, 按照内在规律或用类比法建立微分方程。4. 描述传染病的传播过程, 分析受感染人数的变化规律, 预报传染病高潮到来的时刻, 预防传染病蔓延的手段, 按照传播过程的一般规律,用机理分析方法建立模型。5. 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同, 以雌性个体数量为对象(假设性别比为1:1), 是一种差分
10、方程模型。6. 连续形式: 表示某种群时刻的数量(人口)离散形式:表示某种群第代的数量(人口)若, 则, 是平衡点;的平衡点为. , 其中, 此时的差分方程变为.由可得平衡点在平衡点处,由于,因此, 不稳定. 在在平衡点处, 因,所以(i) 当时, 平衡点不稳定;(ii) 不稳定.第三部分 课后习题1. 判断下列数学模型是否为线性规划模型。(a,b,c为常数,x,y为变量)2. 将下述线性规划问题化为标准形式。3. 用单纯形法求解线性规划问题。4. 检验函数在处有正定,从而为极小点。证明G为奇异当且仅当,从而证明对所有满足的x,G是正定的。5. 求出函数的所有平稳点;问哪些是极小点?是否为全局极小点?6. 应用梯度法于函数取迭代求第三部分 课后习题答案1. 答案:(1)是 (2)不是 (3)是2. 答案:(2)令引入松弛变量可得到如下的标准形式:(3)解:(4)解:3. 答案:在上述问题的约束条件中加入松弛变量,将原问题化成标准形式如下:其现成可行基对应的单纯形表如下: 2 0 12 1218换基迭代,得 - 5/2 -30 1/23 -1 -11/6 -2/3 -34 1/3 -1/3-1/31/3故最优解为,目标函数的最优值为4. 证明:经检验,正定,奇异当且仅当
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