几种特殊类型行列式及其计算Word文档格式.docx

1、这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）与原行 列式相同.性质1.2.4两行（列）对应元素相同,行列式的值为零.性质1.2.5两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零.性质1.2.6某行（列）的倍数加到另一行（列）对应的元素上,行列式的值不变.性质1.2.7交换两行（列）的位置,行列式的值变号.2行列式的分类及其计算方法2.1箭形（爪形）行列式这类行列式的特征是除了第1行（列）或第n行（列）及主（次）对角线上元素外的其他元素均 为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上（下）三角形行列式来计算即利用对 角元素或次对角元素将一条边消为零.例1计算n阶行列式

2、n=aii =2*1 -i=2丄ai丿0 a30 0 an11 .La20 Dn =a3（&2&3an 式0）2.2两三角型行列式这类行列式的特征是对角线上方的元素都是 c,对角线下方的元素都是b的行列式，初看, 这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当b二c时可以化为上面列举的爪形来计算，当 b = c时则用拆行例）法9来计算.例2计算行列式cc bb解当b=c时ai bb a2b bas.将第2行到第行n都减去第i行,则Dn化为以上所述的爪形:即半b aa? bb _ aas - b* b - a an bXiaa + 0X2X3a =Xnb + 人

3、-b用上述特征1的方法，则有X1a Xa 0X3 +X3 0b Xn -X1 -b 一x? a- -+ （ Xn -b ）Dn/b aXn 4 -a aDn 1-a _b |如（X -b ）-bn （Xj a i经化简得由 1 & -b - 2 XnT，得有一些行列式虽然不是两三角型的行列式，但是可以通过适当变换转化成两三角型行列 式进行计算例3计算行列式d. - （n 2）-第一列尼得a2dbcbe 2-解将第一行b，n _2即化为上2 一 1情形，计算得n A.Dn=d x-a i 亠n-1 ad-be x-a而对于一些每行（列）上有公共因子但不能像上面一样在保持行列式不变的基础上提出公

4、共因子的，则用升阶法来简化.例4计算行列式1 X12X! X2X1Xnx2X1 X2X2XnXnXXnX21 XnDn解将行列式升阶，得X2 1+x12X1X2X2X11 + x22 XnX1XnX2 1+Xn2将第i行减去第一行的人i =2,，n倍，得一 Xn这就化为了爪形，按上述特征1的方法计算可得2.3两条线型行列式这类行列式的特征是除了主（次）对角线或与其相邻的一条斜线所组成的任两条线加四个顶点中的某个点外，其他元素都为零，这类行列式可直接展开降阶，对两条线中某一条线元 素全为0的，自然也直接展开降阶计算例5计算行列式Dn =aian J bn Jbn解按第一行展开可得1 -n+ 0（

5、/）an J例6计算行列式bidibnidn -1dn解方法1直接展开可得an 4Cit）bn, i 七n+ 0（）an/On 4dzCnXCnD2n - anan A.4an Aandna.G- 001 （-1 $ c.d.01 A.dnAandn - bnCn D2 n 二 .D2n = andn _ bncn .1D 2 n J = and n _ b nc . an J.dn J _ bn Jcn J D2n_2 = aid _ bici .方法2 （拉普拉斯定理法）按第一行和第2n行展开得D2n2n+-2n（一1）a. b.G d.dnj_（andn -bnCn ）D2（nJj其余的

6、同法1.2.4 Hessenberg 型行列式这类行列式的特征是除主（次）对角线及与其相邻的斜线，再加上第1或第n行外，其他元 素均为零，这类行列式都用累加消点法，即通常将第一行 （列）元素化简到只有一个非零元素,以便于这一行或列的展开降阶计算例7计算行列式3 nTT 0-2- -n -2 2 nn解将各列加到第一列得n （n +1 ）3 -1_2 n _2n 1 n0 02n 0n 1 1nn（n +1按第一列展开得0 n 1 1 一 nn（n +1 ）! 十1）2.5三对角型行列式a b cab的行列式，这类行列式的特征是除这三条斜线上元素外，其+ +形如 Dn = C+ *他元素均为零，

7、这是一递推结构的行列式，所有主子式都有同样的结构，从而以最后一列展开，将所得的n-1阶行列式再展开即得递推公式.对这类行列式用递推法 例8计算行列式a bcabDn = Cc a解按第一列展开有Dn 二 aDn 4 - bcDn 2解特征方程x2 -ax be =0得a+Ja -4bc a _Ja -4bcxi 2 ,X2 2 .则n 1 n 1（Xi -X2 ）Dn , Xi = x2 |.Xr _X2例9计算行列式59匕匕9 54 9解按第一行展开得Dn -9Dn20 = 0.解特征方程得Xi 4, x 5.nd nDn 二 a4 b5 .分别使 n =1,2得 a - -16,b =25

8、,则Dn =5n 1 4n 1 .2.6各行（列）元素和相等的行列式这类行列式的特征是其所有行（列）对应元素相加后相等，对这类行列式，将其所有行 （列）加到第一行（列）或第n行例），提取公因式后，再把每一行都减去第一行 例），即可使行列式中 出现大量的零元素.例10计算行列式1 a1 a11 a2a11 an解将第2行到第n行都加到第1行，得=1 ai - an=1 a an .2.7相邻两行（列）对应元素相差1的行列式列式，自第一行（列）开始，前行例）减去后行（列），或自第行n（列）开始，后行例）减去前行（列），则前（后）行（列）减去后（前）行（列）的-k倍，可使行列式出现大量的零元素.例11计算行列式2n _2n 1 43n-4 n =n 2n - 3n_ 4n Tn - 2依次用前行减去后行，可得1