高考数学备考复习导数及其应用Word格式.docx

1、会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。 4生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题 5定积分与微积分基本定理 （1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。 （2）了解微积分基本定理的含义。【核心要点突破】 要点考向1：利用导数研究曲线的切线 考情聚焦：1利用导数研究曲线 的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。 2常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。 考向链接：1导数的几何意义 函数 在 处的导数 的几何意义是：曲线 在点 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数

2、 对时间 的导数）。 2求曲线切线方程的步骤： （1）求出函数 在点 的导数，即曲线 在点 处切线的斜率； （2）在已知切点坐标 和切线斜率的条件下，求得切线方程为 。 注：当曲线 在点 处的切线平行于 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为 ； 当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。 例1：（2010 海南高考理科T3）曲线 在点 处的切线方程为（ ） （A） （B） （C） （D） 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选A.因为 ，所以，在点 处的切线

3、斜率 ，所以，切线方程为 ，即 ，故选A. 要点考向2：利用导数研究导数的单调性 考情聚焦：1导数是研究函数单调性有力的工具，近几年各省市高考中的单调性问题，几乎均用它解决。 2常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构，多以解答题形式考查，属中高档题目。利用导数研究函数单调性的一般步骤。 （1）确定函数的定义域； （2）求导数 ； （3）若求单调区间（或证明单调性），只需在函数 的定义域内解（或证明）不等式 0或 0。 若已知 的单调性，则转化为不等式 0或 0在单调区间上恒成立问题求解。 例2：（2010山东高考文科21）已知函数 （1）当

4、时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）当 时，讨论 的单调性. 【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想. 【思路点拨】（1）根据导数的几何意义求出曲线 在点 处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择. 【规范解答】（1） 当 所以 因此， ,即曲线 又 所以曲线 （2）因为 ,所以 ,令 当 时， 所以 当 时， 0，此时 ，函数 单调递减； 当 时， 0，此时 ，函数 单调递增. 当 时，由 ， 即 ，解得 . 当 时， ， 恒成立，此时 ，函数 在（0，+

5、）上单调递减; 当 时， ， 时， ,此时 ,函数 单调递减 时， 0,此时 ,函数 单调递增 时， ，此时 ，函数 单调递减 当 时，由于 , 时， ,此时 ,函数 单调递减： 时， 1时，2x-20,从而 （x）0,从而函数F（x）在1,+）是增函数。 又F（1）= F（x）F（1）=0,即f（x）g（x）. （）证明：（1） 若 （2）若 根据（1）（2）得 由（）可知， ,则 = ，所以 ,从而 .因为 ，所以 ，又由（）可知函数f（x）在区间（-，1）内是增函数，所以 ,即 2。 要点考向4：利用导数研究函数的图象 考情聚焦：1该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值（最值）、零

6、点及数形结合思想等重要考点，而成为近几年高考命题专家的新宠。 2常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、指、对数式结构，多以解答题中压轴部分出现。属于较难题。 例4：（2010福建高考理科20）（）已知函数f（x）=x3-x，其图像记为曲线C. （i）求函数f（x）的单调区间； （ii）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1,f（x1）处的切线交于另一点P2（x2,f（x2）.曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3 （x3 f（x3），线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则 为定值： （）对于一

7、般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a 0），请给出类似于（）（ii）的正确命题，并予以证明。 【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想。 【思路点拨】第一步（1）利用导数求解函数的单调区间，（2）利用导数求解切线的斜率，写出切线方程，并利用定积分求解 及其比值；第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题，并利用平移的方法进行证明。 【规范解答】（） （i） ，令 得到 ，令 有 ，因此原函数的单调递增区间为 和 ；单调递减区间为 ； （ii） ， ， ，因

8、此过点 的切线方程为： ，即 ，由 得 ，所以 或 ，故 ，进而有 ，用 代替 ，重复上面的计算，可得 和 ，又 ， ，因此有 。 （）【命题】若对于任意函数 的图像为曲线 ，其类似于（I）（ii）的命题为：若对任意不等于 的实数 ，曲线与其在点 处的切线交于另一点 ，曲线 与其在点 处的切线交于另外一点 ，线段 、 与曲线 所围成面积为 ，则 。 【证明】对于曲线 ，无论如何平移，其面积值是恒定的，所以这里仅考虑 的情形， ， ， ，因此过点 的切线方程为： ，联立 ，得到： ， 化简：得到 从而 所以 同样运用（i）中方法便可以得到 所以 。 【方法技巧】函数导数的内容在历届高考中主要切线

9、方程、导数的计算，利用导数判断函数单调性、极值、最值等问题，试题还与不等式、三角函数、数列、立几、解几等知识的联系，类型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用。【高考真题探究】 1.（2010全国高考卷文科7）若曲线 在点 处的切线方程是 ，则 （A） （B） （C） （D） 【命题立意】本题考查了导数的几何意义和曲线的切线方程知识。 【思路点拨】由题意知， 曲线 在点 处的切线的斜率为1，根据导数的几何意义得y在x=0 处的导数为1，再把（0，b）代入切线方程可以解出a 、b的值。 【规范解答】 选A，

10、, 在点 处的切线方程是 。 斜率为1，所以 ,所以 . 2（2010江西高考理科）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 ，则导函数 的图像大致为【命题立意】本题将各知识点有机结合，属创新题型，主要考查对函数的图像识别能力，灵活分析问题和解决问题的能力，考查分段函数，考查分段函数的导数，考查分类讨论的数学思想，考查函数的应用，考查平面图形面积的计算，考查数形结合的思维能力 【思路点拨】本题结合题意及图像的变化情况可用排除法；也可先求面积的函数，再求其导数，最后结合图像进行判断. 【规 范解答】选A方法一：在五角星匀速上升过程中露出的

11、图形部分的面积共有四段不同变化情况，第一段和第三段的变化趋势相同，只有选项A、C符合要求，从而先排除B、D，在第二段变化中，面积的增长速度显然较慢，体现在导函数图像中其图像应下降，排除选项C，故选A. 方法二：设正五角星的一个顶点到内部较小正五边形的最近边的距离为1，且设 ，则依据题意可得： 其导函数 故选A . 【方法技巧】从题设条件出发，结合所学知识点，根据“四选一”的要求，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.这种方法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的变化情况较多时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以排除，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中考查较多. 3（2010全国高考卷理科10）若曲线 在点 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积