秋人教B版必修3第八章 向量的数量积与三角恒等变换章末复习课Word下载.docx

1、cos得到S与S；将S除以C得到T，将S除以C得到T；将S、C、T中的换为，得到S2、C2、T2.6熟练掌握常用的角的变换是提高解题速度、提高分析问题和解决问题的能力的有效途径常用的角的变换有：2、422、2（）（）（）（）、2（）（）（）（）、（）（）、.这些变换技巧需要同学们在平时解题的过程中多多摸索，而探索的方法就是认真观察已知条件中的角与待求式中的角之间的关系7时刻注意考虑角的范围是避免解题出错的唯一方法，首先是本章的某些公式中的角就有范围限制，如tan 2中的的限制条件是k且（kZ）；其次是题中角的范围也是有限制的.要点一向量的数量积数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决

2、以下问题：（1）设a（x1，y1），b（x2，y2），abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.（2）求向量的夹角和模的问题设a（x1，y1），则|a|两向量夹角的余弦值（0）cos 【例1】已知a（cos ，sin ），b（cos ，sin ），且|kab|akb|（k0）（1）用k表示数量积ab；（2）求ab的最小值，并求出此时a与b的夹角的大小解（1）由|kab|akb|，得（kab）23（akb）2，k2a22kabb23a26kab3k2b2.（k23）a28kab（13k2）b20.|a|1，|b|1，k238kab13k20，ab（k（2）a2当k1时，f（k）minf（1

3、）（11），此时a与b的夹角的余弦值cos 又0，180，60【训练1】已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为（）A B. C. D.解析（）1答案B要点二向量的夹角及垂直问题1求两个向量的夹角主要利用两个公式：（1）cos ，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和模（2）cos 已知两个向量的坐标2解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为“x1x2y1y20”较为简单3用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于：选用适当向量为基底，把所要研究的问题转化

4、为两基底向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角【例2】已知三个点A（2，1），B（3，2），D（1，4）（1）求证：ABAD；（2）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值（1）证明A（2，1），B（3，2），D（1，4），（1，1），（3，3）1（3）130，即ABAD.（2）解，四边形ABCD为矩形，设C点坐标为（x，y），则（x1，y4），解得点C坐标为（0，5）从而（2，4），（4，2），且|2，|8816，设与的夹角为，则cos 矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为【训练2】已知向量（2，0），（2，2），cos ，sin ），则夹角的范围

5、是（）A. B.C. D.解析建立如图所示的直角坐标系sin ），点A的轨迹是以C（2，2）为圆心，为半径的圆过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连接CM、CN，如图所示，则向量的夹角范围是MOBNOB.|，|，知COMCON，但COBMOB，NOB故答案C要点三向量的长度（模）与距离的问题向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点一般地，求向量的模主要利用公式|a|2a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a|，将它转化为实数问题，使问题得以解决【例3】设|a|b|1，|3a2b|3

6、，求|3ab|的值解法一|3a2b|3，9a212ab4b29.又|a|b|1，a|3ab|2（3ab）29a26abb296112.|3ab|2法二设a（x1，y1），b（x2，y2）|a|b|1，xyx1.3a2b（3x12x2，3y12y2），|3a2b|3.x1x2y1y2|3ab| 2【训练3】设0|a|2，f（x）cos2x|a|sin x|b|的最大值为0，最小值为4，且a与b的夹角为45，求|ab|.解f（x）1sin2 x|a|sin x|b|b|1.0|a|2，当sin x时，|b|10；当sin x1时，|a|b|4.由得|ab|2（ab）2a22a22222cos 45

7、2284|ab|要点四三角函数式的化简、求值三角函数式的化简，主要有以下几类：对整式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；对分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或数值；对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段三角函数求值主要有三种类型，即（1）“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式（2）“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些

8、三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角要注意角的范围（3）“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围【例4】化简：sin2sin2cos2cos2cos 2cos 2.解法一原式sin2sin2cos2cos2（2cos21）（2cos21）sin2sin2cos2cos2（4cos2cos22cos22cos21）sin2sin2cos2cos2cos2cos2sin2sin2cos2（1cos2）cos2sin2sin2cos2sin2cos2sin2（sin2cos2）c

9、os2sin2cos21法二原式sin2sin2（1sin2）cos2cos 2cos 2cos2sin2（cos2sin2）cos2sin2cos 2cos2cos 2cos 2cos 2法三原式cos 2cos 2（1cos 2cos 2cos 2cos 2）（1cos 2cos 2cos 2cos 2）法四原式（sin sin cos cos ）22sin sin cos cos cos2（）sin 2sin 2cos2（）cos（22）2cos2（）1【训练4】已知sinsin，求的值解sinsincos，sin即cos 2又，2（，2），sin 2 要点五三角函数与向量的综合问题三角函数与向量的综合问题是近几年高考题的热点，目的在于考查学生对三角函数基本关系式的变形、运算和推理能力，一般来说题目难度不大，解决这类问题，应利用平面向量的坐标、数量积、平行与垂直的条件、夹角公式等知识将向量转化为三角函数问题【例5】已知a（cos ，sin ），b（cos ，sin ）（0）ab与ab互相垂直；（2）若kab与akb长度相等（其中k为非零实数），求的值（1）证明法一a（cos ，sin ），b