随机信号处理-课件PPT格式课件下载.pptx

1、X 为连续值与离散值的混合值时称“混合型随机变量”。,t随机过程定义1：设 E 是随机试验，=是其样本空间，如果对于每一个，总可依 某种规则确定一参数为t的实值函数“X（,t）,t”与之对应；当取遍时，便得到了定义在 T 上的一族时间t的函数，称它为随机过程。族中的每个 函数即为该过程的一个样本函数，称为随机过程的一个“实现”，是参数t的变化范围，称为“参数集”，一般表示时间集合，随机过程可简记为X（t）。随 机过程也可看成是变量、t 的函数，其含义分别为：若、t均为变量，X（t）是一个时间函数族；固定、t为变量，指随机过程的一个样本“实现”，X（t）是一个确定的时间函数；t固定、为变量，X（

2、t）是一个随机变量；、t 均固定，X（t）是该过程某一样本所对应的 t 时刻的函数值。,.,.,随机过程定义2：若对于每个特定的时刻 ti（i=1,2,），X（,ti）都是随机变量，则 称 X（,t）为随机过程。通常，将连续型随机过程 X（,t）简记为 X（t），将该过程的一个 样本函数（或称该过程的一个“实现”）简记为 x（t）。将离散型随机过程 X（,n）简记为 X（n），将该过程的一个样本函数（或称该过程的一个“实现”）简记为 x（n）。,t,.,.,x（ti）A cos（c ti）,x（t）A cos（c t）,t（,）,2：在（0,2）内随机抽取一数i:,xi（t）A cos（ct

3、i）,、是常数，是在（0,2）均匀分布的随机变量,例：,1：对于每一个固定的时刻ti:这 时X（ti）是一个随机变量；,这时Xi（t）是一个样本函数，是该随机过程的一个“实现”。随机相位正弦波是一个随机过程,随机信号举例：,t i,X（,t）,Y（i,t）,y1（t）y2（t）y3（t）,X1（t）X2（t）X3（t）,随机相位正弦波,随机噪声,随机信号举例,均匀分布,高斯分布,柯西分布,n,随机信号的分类,按照时间和状态的连续性分类时间及状态取值都连续 时间及状态取值都离散时间连续状态离散时 间离散状态连续按照样本函数的形式分类不可预测型随机信号 部分可预测型随机信号按照统计特性分类高斯型过

4、程马尔可夫过程 独立增量过程,1.2 随机信号的统计描述,1.2.1 随机信号的概率分布1.2.2 随机信号的数字特征1.2.3随机信号的特征函数1.2.4 随机信号的导数与积分,1 一维概率分布,t,.,t1设 X（t）,t T 是随机过程，x为实数，随机过程的一维概率分布描述为：定义：FX（x,t）=PX（t）x 为X（t）的一维分布。如 果FX（x,t）的一阶导数存在，定义：px（x,t）=FX（x,t）/x为X（t）的一维概率密度。x0 FX（x,t）1,FX（x,t）p（x,t）dx,p（x,t）dx 1,2 二维及多维概率分布,t,.,.,t1t2对于任意两个不同时刻 t1 T、t

5、2 T，x1、x2为实数，随机过程的二维联 合概率分布描述为：FX（x1,x2,t1,t2）=PX（t1）x1,X（t2）x2 为X（t）的二维分布。如 果FX（x1,x2,t1,t2）的偏导数存在，定义：pX（x1,x2,t1,t2）=2FX（x1,x2,t1,t2）/x1x2 为X（t）的二维概率密度。可仿此类推多维分布的情形,1.2.2 随机信号的数字特征,随机信号的矩均值函数（数学期望）均方函数与方差函数自相关函数与自协方差函数互相关函数与互协方差函数随机信号间的“独立、不相关、正交”关系,K,K,xK（t）p（x,t）dx,xK（n）p（x,n）dx,随机信号的矩定义：设X（t）、Y

6、（t）均为随机信号，E 表示求统计平均，则:若EXK,K 1,2,.存在，称其为X（t）的K阶原点矩，简称K阶矩；若EX E（X）K,K 1,2,.存在，称其为X（t）的K阶中心矩；若EXK YL,K、L 1,2,.存在，称其为X（t）和Y（t）的K+L阶原点混合矩；若EX E（X）K Y E（Y）L 存在，称其为X（t）和Y（t）的K+L阶混合中心矩；例,K阶原点矩:,对于连续型随机信号x（t），EX（t）,对于离散型随机信号x（n），EX（n）,（或:xK（n）p（x,n）x,均值函数（数学期望）,kk,mx EX xi pi（x）或：mx（n）EX（n）xi（n）pi（x）,k,i,i

7、M,x（）,x m xm.xmm,1122kk m m2.mk,i1,在M次测量中，测得结果为x1的次数m1、测得结果为x2的次数m2、测 得结果为xk的次数mk：,其测量的算术平均：,当M充分大时，m/M 接近于 x 的概率，定义均值：,i1i1均值与概率密度有关，均值仅对长期（或大量）观察才有意义。,均值函数（数学期望）,m x（t）E X（t）xp（x,t）dx,1,T,-T,At x（t）2T x（t）dt,称“一阶原点矩”，为全部样本值在某时刻取值的“集合平均”、或“统计平均”均值函数表示了随机过程在各个时刻的摆动中心。注意：区别于“时间平均”：,对于连续时间函数：,均方函数与方差函

8、数,2,2,X,x 2 p（x,t）dx,m（t）E X（t）,t,X1（t）,t,X2（t）,x,x,X,（t）2 p（x,t）dx,D X（t）E X（t）m X,（t）2 x m,或表示为：D（t）E X 2（t）x m（t）2 p（x,t）dx,均方函数（二阶原点矩）：,方差函数（二阶中心矩）：,其中 X（t）X（t）m X（t）称“中心化随机变量”两者均表示随机信号在时刻 t 对于均值的平均偏离程度,均方函数与方差函数,22,XXX,D（t）EX（t）m（t）（t）,varx（t）,t,X1（t）,t,X2（t）,方差函数：,称为“标准差”，同样表示随机信号的分散程度,2,X,XX,

9、（t）（t）,varx（t）D（t）,X,2,2,XX,1,2,2,12,b,a,b,a,b a,b a,b a,（b a）2,）p（x）dx,对于连续X：p（x）,、m EX x p（x）dx,D EX m（x,2,X,n,X,n,2,2,2,XX,k,X,n,n,2,12,k0,xk pk（x）2,1n 1,n（n 2）,（x）p（x）,k k0,（）,对于离散X：p（x）,、m EX,D EX m,（）,例：设 X 是在a,b上服从均匀分布的连续实随机变量，求其概率密度函数、均值与 方差；若X取离散值0,1,2,.n的概率均相同，求其概率密度函数、均值与方差。,自相关函数与自协方差函数,

10、t,X1（t）,t,X2（t）,x1 x 2 p（x1,x 2;t1,t 2）d x1 d x 2,R x（t 1,t 2）E X（t 1）X（t 2）,自相关函数（二阶联合原点矩）：,自协方差函数（二阶联合中心矩）：C x（t 1,t 2）E X（t1）m x（t1）X（t 2）m x（t 2）R x（t 1,t 2）m x（t 1）m x（t 2）,表示随机过程在两个不同时刻的状态间的统计关联关系,t,X3（t）,二维随机过程：设 X（t）,Y（t）是定义在同一样本空间和同一参数集上的随机过 程，对于不同的 t，X（t）、Y（t）分别是不同的两个随机变量，称 X（t）,Y（t）,t 为二维

11、随机过程。,X（t1）,X（t2）,.X（tn）;Y（1）,Y（2）,.Y（m）,对于给定的二维随机过程，,是n+m维随机变量，其n+m维分布为：Fx1,x2,.,xn;t1,t2,.,tn;y1,y2,.,ym;1,2,.,m 或将其称为二维随机过程X（t）、Y（t）的“n+m维联合分布”。将上述概念推广，即可得出多维随机过程及其分布函数、以及概率密度函数的 定义（能完整描述 n 维随机过程的分布函数、概率密度函数的维数分别应为 m1+m2+mn 维）。,互相关函数与互协方差函数,t,y（t）,互相关函数：R xy（t 1,t 2）E X（t 1）Y（t 2）互协方差函数：C xy（t 1,

12、t 2）E X（t1）m x（t1）Y（t 2）m y（t 2）R x y（t 1,t 2）m x（t 1）m y（t 2）表示两个随机信号在两个不同时刻的状态间的统计关联关系,t,X（t）,互相关应用举例：,设信号数据s（n）为均值为零的实信号，在本地对其进行测量获得数据为:x（n）s（n）n1（n）对其反射回波测量获得的数据为:y（n）K s（n N）n2（n）其中n1（n）、n2（n）是互不相关的白噪声，均与s（n）不相关。求两组测量数据的互相关：Rxy（m）Ex（n）y（n m）E s（n）n1（n）K s（n N）n2（n）K Rs（m N）Rsn（m）K Rsn（m N）Rn n（

13、m）211 2 K Rs（m N）,举例：求两个随机数据序列的协方差,随机信号间的“独立、不相关及正交关系”,如果 X（t）、Y（t）统计独立，则有:px（y x,y;t1,t2）p（x x;t1）py（y;t2）如果 X（t）、Y（t）互不相关，则有：RXY（t1,t2）EX（t1）Y（t2）EX（t1）EY（t2）mx（t1）my（t2）CXY（t1,t2）EX（t1）mx（t1）Y（t2）my（t2）EX（t1）mx（t1）EY（t2）my（t2）0如果 X（t）、Y（t）相互正交，则有：Rxy（t1,t2）EX（t1）Y（t2）0随机过程间若相互独立，则必互不相关（反之不一定）随机过程

14、间的正交性与相关性一般没有直接关系，但若其中任一随机过程的均值为零，则正交性与相关性是一致的。,2,333,1,33,XY,XY,p（x,y）1（x 2）（y 1）1（x 3）（y 1）1（x K）（y K）,K 2 5,XY p（x,y）（2 3 K）,例题：如果给定离散随机变量X、Y的联合概率密度函数：,试求使X与Y不相关且相互独立的K值。若X与Y不相关：E（XY）E（X）E（Y）,其中：E（XY）,3333,XY,E（X）X p（x）1（2 3 K）K 5，E（Y）Yp（y）1（11 K）K 2,由E（XY）E（X）E（Y）得到：2K 2 7K 5 0，可解出K 1、5/2,时X与Y不相关。,检验上述K值是否使X与Y相互独立：可以从相互独立时应满足：pXY（x,y）pX（x）pY（y）亦可以从相互独立时应满足：E（X MY N）E（X M）E（Y N）,进行判断,因仅当K 1时以上关系成立，因而同时