1、,求二面角 A PB C 的余弦值4.(菱形建系) 2014 新课标全国卷 如图三棱柱 ABC -A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, ABB1 C. AC AB1 ;(2)若 ACAB1, CBB1 60, ABBC,求二面角 A -A1B1 -C1 的余弦值5.(菱形建系)【 2015 高考新课标 1】如图,四边形 ABCD 为菱形, ABC=120,E, F 是平面 ABCD 同一侧的两点, BE 平面 ABCD,DF 平面 ABCD ,BE=2DF, AEEC. ()证明:平面 AEC平面AFC;( )求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 .6.(翻折) (2018 年
2、 I 卷) 如图,四边形 ABCD 为正方形, E, F 分别为 AD, BC 的中点,以 DF 为折痕把 DFC 折起,使点 C 到达点 P 的位置,且 PF BF .( 1)证明:平面 PEF 平面 ABFD ;( 2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 .7.(翻折)(2016 年全国 II 高考)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ,AB5, AC6 ,点E, F分别在AD ,CD上,AECF5 ,EF交BD于点H 将4DEF 沿 EF 折到 D EF 位置, OD 10 ()证明: D H 平面 ABCD ;()求二面角 B D A C 的正弦值8.(
3、动点问题)( 2018 年 II 卷)如图,在三棱锥 PABC 中, ABBC22,PA PB PC AC4,O为 AC 的中点P PO平面 ABC ;( 2)若点 M 在棱 BC 上,且二面角 M PAC 为30 ,求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值OA CMB1.( 2018 年 III 卷)如图,边长为 2 的正方形 ABCD所在的平面与半圆弧 ? 所在平面垂直, 是 ? 上异CD M CD1.解:( 1)由题设知 ,平面 CMD 平面 ABCD,交线为 CD .因为 BC CD,BC 平面 ABCD,所以 BC平面 CMD ,故 BCDM .因为M为?CD 上异于 C,D 的点
4、,且 DC 为直径,所以 DM CM .又 BC I CM=C,所以 DM 平面 BMC .而 DM 平面 AMD ,故平面 AMD 平面 BMC.uuur(2)以 D 为坐标原点 , DA 的方向为 x 轴正方向 ,建立如图所示的空间直角坐标系 D?xyz.当三棱锥 M?ABC 体积最大时, M 为 ? 的中点 .CD由题设得 D (0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C (0,2,0), M (0,1,1) ,uuuur uuur uuurAM ( 2,1,1), AB (0, 2,0), DA (2,0,0)设 n ( x, y, z) 是平面 MAB 的法向量 ,则
5、nuuuur0,2xy z 0,AM0.即2 y可取 n (1,0,2) .DA 是平面 MCD 的法向量 ,因此5n DAcos n, DA| n | DA |2 5 ,sin n, DA所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是25 .新课标全国卷 如图 1-3,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA平面 ABCD,E 为 PD 的中点, AP1,AD图 1-32,解: (1)证明:连接 BD 交 AC 于点 O,连接 EO.因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点又 E 为 PD 的中点,所以 EO PB.因为 EO?平面 AEC,PB?平面 AEC,
6、所以 PB平面 AEC.(2)因为 PA平面 ABCD,ABCD 为矩形,所以 AB,AD,AP 两两垂直如图,以 A 为坐标原点, AB, AD, AP 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向, |AP|D(0,3,0), E 0,31为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz,则,2, AE0, 2,2 .3,0)设 B(m,0,0)(m0),则 C(m, 3,0),AC(m,设 n1 ,z)为平面ACE的法向量,(x ymx3y0,n1AC0,即 3则2 y2z 0,AE0,可取 n1 m3, 1, 3 .又 n2(1, 0,0)为平面 DAE 的法向量,由题设易知 |cosn1,n2
7、|12,即.2 ,解得 m34m因为 E 为 PD 的中点,所以三棱锥E-ACD 的高为1 三棱锥E-ACD的体积V12.13 1 3 2 322 8 .新课标卷)如图,在四棱锥PABCD 中,AB CD ,且 BAP= CDP=90,求二面角 A PB C的余弦值3.【答案】BAP= CDP=90, PA AB ,PD又PAPD=P且PA?平面PADPD?AB?PAB;( 2)解: AB CD , AB=CD ,四边形ABCD 为平行四边形,由( 1)知 AB 平面 PAD,AD四边形为矩在APD中 , 由PA=PD , APD=90 , 可 得 PAD为等腰直角三角形,设PA=AB=2aA
8、D=取AD中 点O, BC中 点E连接PO、 OE以 O 为坐标原点,分别以OA 、 OE 、 OP 所在直线为x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系,则:D(),B(),P( 0, 0,), C(), , 设平面 PBC 的一个法向量为 ,由, 得, 取y=1得AB, AD?PAD ,ABADPAPAAB=APD平面PAB,则为平面 PAB的 一个法向量, cos由 图可 知, 二 面角=A PBC为 钝 角 , 二 面 角的 余 弦 值 为课标全国卷 如图三棱柱菱形, ABB1 C.(2)若 AC AB1,CBB160, ABBC,求二面角ABC - A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为A -A1B1 -C1 的余弦值4 解:连接 BC1,交 B1C 于点 O,连接 AO,因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以 B1CBC1,且 O 为 B1C 及 BC1 的中点
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