勾股定理的证明的方法Word格式文档下载.docx

1、正方形. 它的面积等于c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90 EHA + GHD = 90又 GHE = 90 DHA = 90+ 90= 180 ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 . 【证法3】（赵爽证明）以a、b 为直角边（ba），以c为斜边作四个全等直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. EF = FG =GH =HE =

2、 ba ,HEF = 90 EFGH是一个边长为ba的正方形，它的面积等于. 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DEC = 180 DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又 DAE = 90, EBC = 90 ADBC. ABCD是一个直角梯形，它的面积等于【证法5】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们

3、的两直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为c. 再做一个边长c的正方形. 把它们拼成如图所示多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QPBC，交AC于点P. 过点B作BMPQ，垂足为M；再过点F作FNPQ，垂足为N. BCA = 90，QPBC， MPC = 90 BMPQ， BMP = 90 BCPM是一个矩形，即MBC = 90 QBM + MBA = QBA = 90ABC + MBA = MBC = 90 QBM = ABC，又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA.同理可证RtQNF RtAEF【证法6】（梅文鼎证明）做四个全等

4、的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. D、E、F在一条直线上, RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90 BED + GEF = 90 BEG =180又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一个边长为c的正方形. ABC + CBE = 90 RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90. 即 CBD= 90又 BDE = 90，BCP = 90，BC = BD = a. BDPC是一个

5、边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则 【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CLDE，交AB于点M，交DE于点L. AF = AC，AB = AD，FAB = GAD， FAB GAD， FAB的面积等于GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半， 矩形ADLM的面积 =同理可证，矩形MLEB的面积 = 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ，即 【证法8】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba）

6、，斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. TBE = ABH = 90 TBH = ABE.又 BTH = BEA = 90，BT = BE = b， RtHBT RtABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba.又 GHF + BHT = 90DBC + BHT = TBH + BHT = 90 GHF = DBC. DB = EBED = ba，HGF = BDC = 90 RtHGF RtBDC. 即 过Q作QMAG，垂足是M. 由BAQ = BEA = 90可知 AB

7、E= QAM，而AB = AQ = c，所以RtABE RtQAM .又RtHBT RtABE. 所以RtHBT RtQAM . 即 由RtABE RtQAM，又得QM = AE = a，AQM = BAE. AQM + FQM = 90，BAE + CAR = 90，AQM = BAE， FQM = CAR.又QMF = ARC = 90，QM = AR = a RtQMF RtARC 即 又 =即 【证法9】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 ；把正方形

8、ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 =, 【证法10】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AFAC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BPAF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H. BAD = 90，PAC = 90 DAH = BAC.又 DHA = 90AD = AB = c， RtDHA RtBCA. DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 RtAPB

9、RtBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = ba. RtDGT RtBCA ,RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA . 又 DGT = 90，DHF = 90GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90 DGFH是一个边长为a的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB是一个直角梯形，上底TF=ba，下底BP= b，高FP=a +（ba）.用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为 = = . 把代入，得【证法11】（陈杰证明）a）

10、，斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（ba），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，则 AD = c. EM = EH + HM = b + a , ED = a， DM = EMED = a = b.又 CMD = 90，CM = a，AED = 90， AE = b， RtAED RtDMC. EAD = MDC，DC = AD = c. ADE + ADC+ MDC =180ADE + MDC = ADE + EAD = 90 ADC = 90 作ABDC，CBDA，则ABCD是一个边长为c的正方形. BAF + FAD = DAE + FAD = 90 BAF=DAE.连结FB，在ABF和ADE中， AB =AD = c，AE = AF = b，BAF=DAE， ABF ADE. AFB = AED = 90，BF = DE = a. 点B、F、G、H在一条直线上.在RtABF和RtBCG中， AB = BC = c，BF = CG = a， RtABF RtBCG.， Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考！