三角形的证明教学文案Word格式.docx

1、在BAD中AB+ADBD，即：AB+ADBP+PD 在PDC中，PD+DCPC 得AB+AD+PD+DCBP+PD+PC即AB+ACBP+PC例2如图AD为 ABC的中线，求证：ABAC2AD。分析：要证ABAC2AD，由图想到： ABBDAD,ACCDAD，所以有ABAC BDCDADAD2AD，左边比要证结论多BDCD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE2AD AD为ABC的中线 （已知） BDCD （中线定义） 在ACD和EBD中 ACDEBD （SAS） BECA（全等三角

2、形对应边相等） 在ABE中有：ABBEAE（三角形两边之和大于第三边） ABAC2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）例3：如图AD为ABC的中线，且12，34，求证：BECFEF证法1：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF。在BDE和CDM中， BDECDM （SAS） BE=CM 又12，34 （已知） 1234180（平角的定义） 32=90，即：EDF90 FDMEDF 90在EDF和MDF中 EDFMDF （SAS） EFMF （全等三角形对应边相等） 在CMF中，CFCMMF（三角形两边之和大于第三边） BECFEF注：上题也可加倍FD，证法同上。注意：当涉及到有以线段

3、中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。证法2：要证BE+CFEF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知1=2，3=4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。在DA上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC，在DBE和NDE中：DN=DB（辅助线作法）1=2（已知）ED=ED（公共边）DBENDE（SAS）BE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF=NF在EFN中EN+FNEF（三角形两边之和大于第三边）BE+CFEF。当证题有角平分线时，常可考虑在角

4、的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素:例4：已知如图：在ABC中，ABAC，1=2，P为AD上任一点求证：AB-ACPB-PC要证：PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再连接PN，则PC=PN，又在PNB中，PB-PNBN，PB-PC。（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN,在APN和APC中AN=AC（辅助线作法）AP=AP（公共边）APNAPC（SAS）,PC=PN（全等三角形对应边相等）在BPN中，有PB-PNBN

5、（三角形两边之差小于第三边）BP-PCPM-PC（三角形两边之差小于第三边）AB-AC2、相等关系：A 加倍延长中线如图，已知在 ABC 中， C = 90 ， B = 30 ， AD 平分 BAC ，交 BC 于点D . 求证： BD = 2CD延长 DC 到 E，使得 CE=CD,联结 AEC=90ACCDCD=CEAD=AEB=30C=90BAC=60AD 平分BACBAD=30DB=DA ADE=60ADE=60 AD=AEADE 为等边三角形AD=DEDB=DABD=DEBD=2DC（2）如图，D 是 ABC 的边 BC 上的点，且 CD = AB ，ADB = BAD ，AE 是

6、ABD 的中线。AC = 2AE 。延长 AE 到点 F,使得 EF=AE 联结 DF在ABE 和FDE 中BE =DEAEB=FEDAE=FEABE FDE（SAS）AB=FD ABE=FDEAB=DC FD = DCADC=ABD+BAD ADB = BADADC=ABD+BDAABE=FDEADC=ADB+FDE即 ADC = ADF在ADF 和ADC 中AD=ADADF = ADCDF =DC ADF ADC（SAS）AF=ACAC=2AE小结:熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有

7、过中点线段有很好的效果。练习：如图所示，AD 是ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AC=BF。 求证：AE=EF。延长 AD 至点 G，使得 DG=AD，联结 BD在ADC 和GDB 中AD=GDADC=GDBBD=DCADC GDB（SAS）得 AC= BG CAD =BGDAC=BFBG= BF BFG=BGFCAD =BGDBFG= CADBFG=AFEAFE=FAEAE =AFB、借助角平分线造全等 如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD在 AC 上截取 AF=AE在ABC 中，B+BAD+ACB=1

8、80B =60 BAD+ACB=120中BAC= 2OACCE 平分ACBACB= 2ACO2OAC+2ACO=120（ASA）OAC+ACO=60AOE=OAC+ACOAOE=60在AOE 和AOF 中AE=AFEAO=FAOAO = AOAOE AOF（ASA）AOE=AOEOE=OFAOE=60AOE+AOE+FOC=180FOC=6OAOE=CODCOD=60在COD 和 COFDCO =FCOCO=CODOC=FOCCOD COFOD =OFOE=OFOE=OD如图，ABC 中，BAC=90 度，AB=AC，BD 是ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过 C 点的直线于 E，直线

9、CE 交 BA 的延长线于 F求证：BD=2CE延长 BA，CE 交于点 F，在 BEF 和 BEC 中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90BEFBEC，EF=EC，从而 CF=2CE。又1+F=3+F=90，故1=3。在 ABD 和 ACF 中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90ABDACF，BD=CF，BD=2CE。【小结】解题后的思考：关于角平行线的问题，常用两种辅助线；见中点即联想到中位线。C 旋转如图，已知ABC=DBE=90，DB=BE，AB=BC（1）求证：AD=CE，ADCE （2）若DBE 绕点 B旋转到ABC 外部，其他条件不变，则（1）中结论是否仍成立?请证明

10、（1）证明：如图1ABC=DBE=90ABC-CBD=DBE-DBC，即ABD=CBE在ABD和CBE中ABBCABDCBEBDBEABDCBE（SAS），AD=CE，BAD=BCEAGB与CGF是对顶角，AGB=CGFBAD+AGB=90GCF+CGF=90CFG=90ADCE；（2）AD=CE，ADCE，理由如下如图2：ABC+CBD=DBE+DBC，ADCE例2 .如图在 RtABC 中,AB=AC,BAC=90,O 为 BC 中点. （1）写出 O 点到ABC 三个顶点 A、B、C 的距离关系（不要求证明） （2）如果 M、N 分别在线段 AB、AC 上移动,在移动过程中保持 AN=BM,请判 断O M N的形状,并证明你的结论（1）在RtABC中，BAC=90，O为BC的中点，OA=1/2 BC=OB=OC所以 OA=OB=OC（2）OMN是等腰直角三角形理由如下：连接AOAC=AB，OC=OBOA=OB，NAO=B=45在AON与BOM中AN=BMNAO=BO