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1、，在PQA中，APQ=180-30-75=PAQ=PAB，于是PQ=AQ=AB，显然PAQPAB，得PBA=PQA=30，PB=PQ=AB=BC，PBC=90=60，所以ABC是正三角形。2.已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F求证：DENF证明:连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM.又点N为CD的中点,则GN=AD/2;GNAD,GNM=DEM;（1）同理:GM=BC/2;GMBC,GMN=CFN;（2）又AD=BC,则:GN=GM,GNM=GMN.故:DEM=CFN.3、如图，分别以ABC的AC和BC为一边，在ABC

2、的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点求证：点P到边AB的距离等于AB的一半证明：分别过E、C、F作直线AB的垂线，垂足分别为M、O、N，在梯形MEFN中，WE平行NF因为P为EF中点，PQ平行于两底PCGFBQADE所以PQ为梯形MEFN中位线，所以PQ（MENF）/2又因为，角0CB角OBC90角NBF角CBO所以角OCB=角NBF而角C0B角Rt角BNFCB=BF所以OCB全等于NBFMEA全等于OAC（同理）所以EMAO，0BNF所以PQ=AB/2.4、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且PBAPDA求证：PABPCB过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者

3、相交于点E；连接BE 因为DP/AE，AD/PE 所以，四边形AEPD为平行四边形 所以，PDA=AEP 已知，PDA=PBA 所以，PBA=AEP 所以，A、E、B、P四点共圆 所以，PAB=PEB 因为四边形AEPD为平行四边形，所以：PE/AD，且PE=AD 而，四边形ABCD为平行四边形，所以：AD/BC，且AD=BC 所以，PE/BC，且PE=BC 即，四边形EBCP也是平行四边形 所以，PEB=PCB 所以，PAB=PCB5.P为正方形ABCD内的一点，并且PAa，PB2a，PC=3a正方形的边长解：将BAP绕B点旋转90使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ因为BAPBCQ

4、所以APCQ，BPBQ，ABPCBQ，BPABQC因为四边形DCBA是正方形所以CBA90，所以ABPCBP90，所以CBQCBP90即PBQ90，所以BPQ是等腰直角三角形所以PQ2*BP，BQP45因为PA=a，PB=2a，PC=3a所以PQ22a，CQa，所以CP29a2，PQ2CQ28a2a29a2所以CP2PQ2CQ2，所以CPQ是直角三角形且CQA90所以BQC9045135，所以BPABQC135作BMPQ则BPM是等腰直角三角形所以PMBMPB/22a/22a所以根据勾股定理得：AB2AM2BM2（2aa）2（2a）2522a2所以AB（522）a6.一个圆柱形容器的容积为V立

5、方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。由题意得：解之得：经检验得：是原方程解。小口径水管速度为，大口径水管速度为。7如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（2，），且P（，2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得OBQ与OAP面积相等？如果存在，请求出点

6、的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值（1）设正比例函数解析式为，将点M（，）坐标代入得，所以正比例函数解析式为 同样可得，反比例函数解析式为 （2）当点Q在直线DO上运动时，设点Q的坐标为， 于是，而，所以有，解得 所以点Q的坐标为和 （3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OPCQ，OQPC，而点P（，）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为，由勾股定理可得，所以当即时

7、，有最小值4，又因为OQ为正值，所以OQ与同时取得最小值，所以OQ有最小值2 由勾股定理得OP，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是8.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证： PE=PD ； PEPD；（2）设AP=x, PBE的面积为y. 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值. 解：（1）证法一： 四边形ABCD是正方形，AC为对角线， BC=DC, BCP=DCP=45. PC=PC， PBCPDC （SAS）. PB= PD， PBC=PDC. 又 PB

8、= PE ， PE=PD. （i）当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时， PB=PE， PBE=PEB， PEB=PDC， PEB+PEC=PDC+PEC=180 DPE=360-（BCD+PDC+PEC）=90 PEPD. ）（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PEPD.（iii）当点E在BC的延长线上时，如图. PEC=PDC，1=2， DPE=DCE=90 PEPD.综合（i）（ii）（iii）, PEPD. （2） 过点P作PFBC，垂足为F，则BF=FE. AP=x，AC=， PC=- x，PF=FC=. BF=FE=1-FC=1-（）=. SPBE=BFPF

9、=（）. 即 （0x）. . 0， 当时，y最大值. （1）证法二： 过点P作GFAB，分别交AD、BC于G、F. 如图所示. 四边形ABCD是正方形， 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，AGP和PFC都是等腰直角三角形. GD=FC=FP，GP=AG=BF，PGD=PFE=90. 又 PB=PE， BF=FE， GP=FE， EFPPGD （SAS）. 1=2. 1+3=2+3=90 DPE=90 PEPD. （2） AP=x， BF=PG=，PF=1-. 当时，y最大值.9、如图，直线y=k1x+b与反比例函数 y=k2x的图象交于A（1，6），B（a，3）两点（1）求k1、k2的值（2）直接写出 k1x+b-k2x0时x的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD中，BCOD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CEOD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由10、如图12，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为（1）求的值；（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；（3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标